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Sur quelques questions relalives aux fonctions elliptiques 
par M. Eugene Catalan. 
Dans un Mémoire publié en 1848 (*), M. Tortolini de'montre, au moyen des coor- 
donne'es elliptico—polaires de Jacobi, le Theorème de Legendre , relatif aux fon- 
etions complètes, a modules compierne ntaires. En redigeant, pour raes Élèves, cette 
remarquable demonstration , il m’ a semble qu’ on en peut rendre plus sensible 
l’interpretation ge'ome'trique, et qu’ on peut aussi, en s’ appuyant sur le principe 
qui a guide' le savant Ge'omètre romain, de'couvrir de nouveaux the'orèmes, analo- 
gues a celui de Legendre. C’est ce que j’ai essaye de faire dans cette Note, qui 
se termine pas des remarques sur divers passages du Tratte des fonctions elliptiques. 
I. 
Le The'orème de Legendre consiste en l’e'quation 
r_i2_ L A(c , fjt. L Mb , _ f‘js_ r . ?. (1) 
Jo S{b, <p) J 0 J o A(c, 6) J 0 ■ ‘ J n A (b, <p) J 0 A(c, 0) 2 
Si l’on pose 
u = sin <p , v — sin 0, 
ori transforme aise'ment Tequation (ì) en celle-ci : 
• 2 c 2 v 2 )du de 7i 
f f 1 0 ~ &V 
Jo Jo y/(i - u z ){ i - e 2 
0 ) 2 
( 2 ) 
(3) 
2 )(i - b 2 u)[ì - cV) 2 
Pour interpre'ter cette relation, je considero la sphère repre'sente'e par 
x 2 + r 2 + z 2 = * (4), 
et je suppose, comme M. Tortolini (**) : 
x = u\l 1 - cV , j = v\Ji-b 2 v 2 , z = \/(i - u 2 )( i - v 2 ) ( 5 ). 
Ces valeurs satisfont a l’e'quation ( 4 ), quels que soient Ies paramètres u, 0 . D’ail- 
leurs, le | de la surface spbe'rique a pour mesure 1 ; donc 
ccdxdr = p r ggrSra*»*» = _ 
JJ Z J 0 Jo \/ (i — ll 2 )[ 1— V 2 ) 2 
ou, par un calcul facile, 
\u de 
- cV) 7 2 
n 1 (ì - b z u z - c z v 2 )Au 
V/(1 - u 2 )(t - e 2 )(l - b z u 
comme ci— dessus. 
(*) Sulla riduzione di alcuni integrali definiti ai trascendenti ellittici (Giornale Arcadico, t. CXVJ. 
Agosto e Settembre 1848). 
{**) A la notation près. 
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