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Oa peut dose, ainsi que l’a trouve M. Tortoimi, parvenir au Theorème de Le- 
gendre en tra^ant sur la sphère les deux systèmes de courbes représente'es par 
u = const. , v = const. , 
et eri prenant, pour e'iement de la surface sphe'rique , le quadrilatere qui a pour 
cóte's deux courbes conse'cu ti ves du premier système, et deux courbes consecutive* 
du second. Voyons quelles sont ces couibes. 
II. 
Ou tire, des formules (5) : 
ou, a cause de l’e'quation (4) : 
2 
c 
7 2 2 2 
b x j 
1 - c v v 
ì - cv 
puis, par un changement de lettres 
2^2 4 2 
x --J + —2 z - 0 
(A); 
(B)- 
Les equations (A), (B) repre'sentent deux cónes qui se coupent suivant quatre ge'ne'- 
ratrices communes : le point où chacune de ces droites perce la sphère est de'ter- 
rainè par les formules (5). 
Ces cónes sont orthogonaux . En eflfet, la condition ordinaire devient 
u 2 (i - cV) " v\l-b 2 u 2 ) J {i-u){i-v*) 
ou 
- c 2 - b 2 + 1 = 03 
relation identique. 
Les cónes (A), (B), orthogonaux l’un par rapport a l’autre, sont d’ailleurs or- 
thogonaux relativement a la sphère; par conse’quent, les courbes suivant lesquelles 
ils la coupent sont orthogonales . 
Soient ds, do- les e'ie'ments des coniques-sphériques passant au point (x,j, z). O11 
trouve 
ifr 
1 
! m 
c> 
/ dcV 1 — b 2 u 2 — c 2 v 2 
1 
li 
1 
\do/ (1 - v 2 )(i cV) ’ 
dono, dA e'tant l’aire du rectangle de'termine' par ces courbes et par les coniques 
infiniraent voisines de celles-ci, 
dA 
(i - b 2 u 2 - c 2 v 2 )du dv 
\/{i~u 2 ){\ - ^ 2 )(i - b^){i - cV) 9 
cornine préce'demment. 
