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La conique-sphe'rique, iutersection clu cóne (A) avec la sphère, a pour proje- 
ction, sur le pian zx, l’ellipse repre'sente'e par 
x z 
1 — cV 1 — v 2 
De raérne, la seconde conique a pour équation 
2 2 
1 — 0 U 1 - u 
(A' 
(B f ) 
Soient BD = y , BE = a les demi— axes de la 
coniques— phe'rique DME représente'e par l’e'qua- 
tion (A'). On a 
sin y = \J \ — v 2 , sin a = ^ ì — c \ 2 , 
ou 
cos y 
cos a = cv = c sin 
y = T --e. 
0=0 donne o = o , x 2 z = 1 : l’ellipse DME 
se ve'duit a la circonfèrence CGA. 
Si l’on suppose 0 = | , ou v = 1, on trouve 
z = o ; et la valeur de x paraìt indéterminée. 
Mais, A, C de'signant les demi-axes de l’ellipse 
(A'), on a 
- cV , C 2 = ì - ; 
A 2 - c 2 C 2 = b 2 ; 
et, par conséquent, si c = 0 , A = Z>. Ainsi, la limite inférieure des coniques I)ML 
est un are Be de la circonfèrence BA. 
Les mèmes remarques s’appliquent aux coniques-spheriques GMF, repre'sente'es 
par l’e'quation (B r ). 
En résumé', le Théoreme de Legendre équivaut à la décomposition de la sphère 
en rectangles infmiment petits, au moyen de coniques sphériques orthogonales. 
Si l’on découpait autrement la surface, on trouverait d’autres the'orèmes , plus ou 
moins inte'ressants. 
in. 
Par exemple, considérons les coniques projetées, sur le pian xy , suivant les 
cercles orthogonaux repre'sentes par 
x 2 + y 2 - 2 ocx + 1 = 0 (C) 
x 2 +y 2 + 2(3?' —i = o (D). (*). 
{*) Journal de Liouville, tome XIX, p. 134. 
