— 1 7 4 — 
Deux courbes conséeutives appartenant aux système (G), et deux courbes consècu- 
tives appartenant au système (D), de'terminent un quadrilatere spbèrique iufiniment 
petit. Nous allons e'valuer cet e'ie'ment de la suvface, après quoi nous exprimerons 
que l’integrale doublé e'gale | . 
IV. 
Pour simplifier les e'quations (C), (D), posons 
1 
a =. - — - 6 = cot ffi 
sin 9 ’ r Y 
( 6 ). 
De la re'sulte 
-~—t + r cot 9=1 , x 2 + r 2 — r — + r cot 9 = 0 (7); 
sin 9 J T J sin 0 . J T Vìi 
puis, par un calcul que nous supprimons : 
sin 9 cos 9 sin 9 
y- 
1 + cos 9 cos 
On tire, des dernières formules: 
1 + cos 9 cos 
dx 
cos 9 + cos 9 
do? 
sin 9 cos 9 sin 9 
~d9 
(1 + cos 9 cos 9 ) 2 ’ 
d 9 
(1 + cos 9 cos 9) 2 ’ 
d y 
sin 9 sin 9 
§; 
cos 0(cos 9 + cos 9 ) 
~df = 
(1 cos 9 cos 9) 2 ’ 
d 9 
(1 + cos 9 cos 9 ) a * 
puis 
cos 9 
dx dy dy dx 
d9 d 9 d0 d 9 (1 + cos 9 cos 9)^ 
L’èlément de l’aire est 
dA = 
dx dy 1 cos 9 d 9 
z z (t + cos 9 cos 9) 2 ’ 
/ à — ■ — — / 2 cos 9 cos 9 
\j\-x -y 2 =\j^y=\J — 
i ì cos 9 
cos 9 
cos 9 cos 9 ’ 
d 0 d 9 
( 8 ) 
( 9 ) 
( 10 ). 
(11) 
(1 + cos 9 cos 9) 2 
Si l’on fait varier 9 et 9 de 0 a \ , on a le j de la surface; ainsi 
7T 7T 
! d 9\/ cos 9 I 
J « J o (1 + 
d9 
cos 9 cos 9 ) \/cos 9(1 + cos 9 cos 9 ) \Z -2 
Tclle est l’èquation qui remplace la relation (3). 
(E) 
