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on, en remplacant 0 par 2 x : 
77 p COS 2 X / 77 \ 
A = - + | — 1. tg. ( - + a? )dx. 
4 J 0 sin 2X 55 \4 ) 
Or C 
donc 
P de =— , Psin « l.tg. 0 + A dx - ? 
Jo sin 2 X s J 0 \4 / 4 
A = 
( 21 ) 
Egalant les deux valeurs de A, on a 
r 
i: 
(cos co) COS co dco = 
v . v cdc 
E,(c) 77 =; 
Vi -c 2 
(K). 
Pour ve'rifier ce resultat curieux, il suffit de prendrc le developpement de E,(c) , 
, .... . cdc 
de multiplier chaque terme par-^===, et dintegrer: on trouve 
✓ 
ì - c 
1. 3. 5 
formule connue. 
>. 3 2. 4. 6. 7 2. 4. 6. 8. 
IX. 
L’illustre createur de la The'orie des Fonctions elliptiques , après avoir e'tabli 
la relation 
n( - c*sin-0) + n(- -r-ì— ) - F + ~y - , (L) 
\ sin 0 / 2 A (0) b l_A(<j>) tg 0 - A(0) tg cpj 
fait observer que le second membre devient infini quand l’amplitude cp e'gale 0 ; 
puis il ajoute (**): 
cc Lorsqu’ensuite on suppose ip>0 , le de'nominateur devient ne'gatif, et la va- 
» leur de 11^— redevient finie par la destruction mutuelle des parties in- 
» fìnies et de signes contraires . Mais alors la formule a besoin d’étre rectifie'e pour 
(*) Bierens de Haan, T. 315. 
(**) Fonctions elliptiques, tome I, p. 71. 
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