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indipendentemente da ri, avremmo allora due serie, che sarebbero in realtà 
identiche , sebbene di forme diverse ; quindi la nuova serie nata da quelle, 
.godrebbe le proprietà di ambedue le proposte. 
Ora facilmente si comprende che le ipotesi (aj, (a 2 ), (a 3 ), possono es- 
sere sorgenti di molti nuovi teoremi sui numeri. 
III. 
In una progressione aritmetica, nella quale p rappresenta il primo ter- 
mine, d la differenza, n il numero totale dei termini, n' l’indice, u qualun- 
que di essi, ed s la somma loro, abbiamo 
dn . 
-pn -4- (n — 1). 
Supponendo in questa 
avremo dalla medesima 
s = n a , 
„_i d(n — 1) 
p= n 1 1 — — L 
(i) 
e si avranno anche le 
u = p d(n ' — 1 ), n a — (p -t- a) — , 
essendo a l’ultimo termine della progressione, cosicché sarà n = < u, quando 
sia n' = n. Dunque : 
l.° la potenza n a , eguaglia la somma di n termini di una progressione 
aritmetica, nella quale d rappresenta la differenza 4 ed 
d(n — 1) 
*■' ‘ - ^2 ^ 
il primo termine. 
2.° posto a — 2, concluderemo che il quadrato di n uguaglia la somma 
di n termini di una progressione aritmetica , nella quale d rappresenta la 
differenza, ed 
d(ri — 1 ) 
il primo termine, che diverrà 1 quando sia d = 2. 
