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3.° in questo ultimo caso, cioè ponendo nelle (1) d = 2, a = 2, avremo 
p — 1 , 
quindi, facond e successivamente 
ii = 2n' — 1 : 
yi 
■ avremo 
( 2 ) 
n' = 1 , 2 , 3 , . . . , n, 
n 2 = 1 -+• 3 -+- 5 -+- . . . -f- 2 n — 1 ; 
perciò qualunque quadrato n 2 , non solo eguaglia la somma dei numeri im- 
pari consecutivi , a cominciare dalla unità ; ma inoltre i termini di questa 
somma sono tanti, quante le unità di n ; cosicché 1’ ultimo dei medesimi è 
2 n — 1. Perciò cognito un quadrato n 2 , si conoscerà: 
l.° che sono n , cioè quante le unità della sua radice, i numeri impari 
consecutivi, cominciando da t, dai quali esso per via di somma è compo- 
sto: 2.° che il maggiore di questi è 2« — 1: 3.° che la somma degl’ impari 
consecutivi da 1 sino a 2n -b 1 inclusivamente sarà (n -t- 1 ) 2 . 
ESEMPI 
1 *= 1 , 
2 2 =:1 +3, 
3 2 = 1+3 + 5, 
4 2 = 1 h- 3 +- 5 -+ 7, 
5 2 = l -+- 3 +- 5 +- 7 +- 9, 
6 2 = 1 -+- 3 — + 5 —+ 7 -t— 9 — t- 1 1 , 
7 2 = 1 +- 3 -+ 5 -+ 7 -+- 9 -+ 11 +- 13. 
ec. . . . 
Sembra, secondo Leonardo pisano, che il teorema espresso dalla (2) siasi 
da esso ravvisato; poiché nel suo Liber quadratorum , composto nel 1225 p. 56, 
a questo modo egli si esprime « Consideravi super originem omnium quadra- 
torum numerorum, et inveni ipsam egredi ex ordinata imparium ascensione (*). 
(*) Il sig. principe D. Baldassare Boncompagni, profondo conoscitore degli antichi autori di 
scienze, il quale co’ suoi laboriosi e difficili studi, rese molti vantaggi alla storia delle matematiche 
dei secoli andati, aveva già formulato algebricamente il teorema stesso in una sua nota, inserita nel 
Giornale Arcadico T. CXXXIII p. 45, Roma 1853. Inoltre ha egli rinvenuto, e reso di pubblica ra- 
gione pel primo, a gloria dell Italia « tre inediti scritti di Leonardo pisano (Firenze tipografia Ga- 
lileana 1854) l.° Flos ... 2.° Epistola ad Magistrum Theodorum ... 3.° Liber quadratorum. Di 
questa pubblicazione utilissima, favoritaci gentilmente dell’illustre Boncompagni, noi ci siamo valsi 
nel compilare la presente memoria, ed altri lavori sìmili, che saranno pubblicati fra poco. 
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