Pertanto sarà 
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IV. 
Zi 2 = 1 -4- 3 -4- 5 —I— . . . -4- 2/i — 1 , 
/ 2 = 1 — (— 3 -4— 5 —I— . . . — (— 2 II — 1 -4- 2 h -4— I -4- 2 II -4- 3 -4= . . . -4- 2 f — ■ i ; 
quindi essendo f>-h, otterremo la 
(b t ) f — h 2 = 2Zn- 1 2/t -4- 3 -4- ... -4- 2f — 1 : 
vale a dire la differenza fra due quadrati f 2 , Zi 2 corrisponde sempre ad una serie 
di numeri impari consecutivi, che comincia con 2/t -t- 1, e finisce con 2f — 1, 
nella quale il numero dei termini viene rappresentato da f — h , cioè dalla 
differenza delle radici dei quadrati medesimi. 
ESEMPIO 
Supposto 
f — 15, h = 9 , sarà f — h = 6 ; 
quindi 
15 2 — 9 2 = 19 -4- 21 -4— 23 — t— 25 -4— 27 — t— 29 . 
Inoltre se pongasi 
(b 2 ) f 2 — h 2 — c, 
essendo c un intero qualunque, ma però nè doppio di un impari, nè uno, nè 
seconda potenza di 2, sempre per f ed li vi saranno interi, da soddisfare alla 
proposta; e perciò avremo eziandio 
(Ò 3 ) C =2/1-4- 1 -4- 2/< -4— 3 — t- ... -4-2 f— 1 . 
Dunque ogni numero, che non sia doppio di un impari, è sempre una somma 
d’impari consecutivi. Vedremo appresso quale complemento riceva questo teo- 
rema: intanto possiamo anche concludere che ogni numero, tranne la unità 
ed il 4, sarà o doppio di un impari, o differenza di due quadrati. 
Un’applicazione della (2), viene indicata da Leonardo pisano a questo modo (*). 
. . . linde curri volumus II. 0S quadratos numeros invenire, quorum additio 
faciat quadratum numerum , accipiam qualem voluero quadratum inparem , et 
habebo ipsum prò uno ex duobus diclis quadi'atis , reliquum inveniam ex col- 
leclione omnium imparium , qui sunt ab imitate usque ad ipsum quadratum im- 
parem. Ed in fatti sia 
(*) Liber quadratorum edizione citata: j>. 56.. 
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