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lati algebraicamente dal eh. D. Baldassare Boncompagni (*). E qui osserve- 
che oltre alle soluzioni algebriche (ò 4 ) , ( b 5 ) , la proposta ne ammette anche 
altre, fra le quali, a modo di esempio, la seguente 
(b & ) x = q+ ^{2pq)> y=pd=]/-(2pq), z=p^-q+ \f{2pq) . 
Però l’analisi della proposta per interi, quando sia dato il numero z, non può 
essere generalmente rappresentata dalle precedenti formule, giacché per l’ana- 
lisi medesima, fa d’uopo generalmente assegnare l.° seia proposta sia possi- 
bile ; 2° in quanti modi lo sia ; 3.° quali sieno ; 4° quali proprietà le sue 
soluzioni abbiano; ed a tutto ciò non valgono le formule stesse, ma bensì 
altre, che già da noi furono in parte pubblicate. 
Y. 
Dalla (b 2 ) discende per corollario, che il prodotto 
4 mn[m. 2 — n 2 ) , 
rappresenterà sempre la somma di più impari consecutivi. E poiché la 
f 2 — - h 2 = 4 mn(m 2 — n 2 ) ,. 
ammette tante intere soluzioni, quanti sono i modi coi quali può il secondo 
suo membro essere decomposto in due fattori, ciascuno pari; ossia quanti sono 
i modi coi quali può il prodotto mn(in 2 — n 2 ) essere in due fattori decomposto; 
perciò tanti saranno questi modi, ossia le intere soluzioni della proposta, quante 
le somme di numeri impari consecutivi, ciascuna eguale prodotto 4 mn(n 2 — n 2 ), 
e ciascuna composta di f — h termini diversi. Eseguendo queste decompo- 
sizioni algebraicamente, abbiamo 
mn — (m 2 — n 2 ), 
mn(m -+- n) — (m — «), 
mn(m — n) — {ni - 4- n), 
m[m n) — n(m — n), 
m[m — n) — n{m n), 
m(m 2 — n 2 ) — n, 
n{m 2 — n 2 ) — m, 
(*) Giornale Arcadico T. CXXX1II p. 46, 47, 48. Roma 1853. 
f= 
mn + m — 
mnim -4- n ) - 
mn[m — n ) - 
m[m -f- n) -4 
m (m — n ) -4 
m(m 2 — n 2 ) 
n(m 2 — n 2 ) - 
- m — n r 
- m -4- n, 
n{m — n) T 
n{m - 4 -n) r 
m, 
h = 
