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viene dal citato matematico di Pisa in questo modo indicata (*) : Ex hoc 
quidem manifestimi est , qaod quando duo numeri inequales proponuntur , du- 
plum molliplicalionis unins in alium , curii quadrato numeri in quo major nu- 
merus superhabundat minorem , equatur quadratis qui fiunt ab ipsis numeris. 
Così pure la 
(è 2 — a 2 ) 2 -+- (2 ab) 2 = (a 2 -4- è 2 ) 2 , 
viene dallo stesso autore (**) come siegue assegnata: Possunt etiam duo qua- 
drati inveniri , quorum aggregano erit quadratus numerus , per quoslibet duos 
numeros dcitos. Verbi grada dentar duo numeri a, et b, prout libuerit , sit la- 
men b major, et auferatur a quadrato numeri b quadratus numeri a, et resi- 
duum erit rcidix unius quadratorum inveniendorum, deinde accipiatur duplum 
ejus quod proventi ex ductu a in b, quod erit etiam radix alterius quadrati . . * 
Dalla formula (2) discende la 
l 2 4- 2 2 -4- 3 2 4- 4 2 -4- . . . . -4- n l == 
= \ .n -4-3 (n — 1) -4- 5 (n — 2) 4- 7 [n — 3) 4- . . . 4 - 
così per esempio, fatto n = 6, sarà 
l 2 2 2 4 - 3 2 4 - 4 2 4- 5 2 4 - 6 2 = 1.6 4 - 3.5 -4 5.4 4- 7.3 4- 9.2 4-11.1 . 
Il secondo membro della precedente uguaglianza, rappresenta una osser- 
vabile trasformazione, della somma S'„ dei quadrati de’ numeri naturali: cioè, 
se i termini che sono in medesima sede nelle due serie, una dei numeri im- 
pari consecutivi da 1 sino a 2 n — 1, l’altra dei numeri naturali da n sino 
ad 1 , si moltiplichino fra loro, nascerà una terza serie, di cui la somma, 
uguaglierà quella dei quadrati dei numeri naturali, da 1 sino ad n. 
Sappiamo poi dalla teorica delle serie a differenze costanti, essere 
n[n 4- l)(2n 4 - 1) = 6.S'„ ; 
ora questo risultamento è da Leonardo espresso come siegue (***): Si ab imitate 
numeri quoteumque continui, pares videlicet et impar es , ordinate disponantur, nu- 
merus solidus, qui ab ultimo, et a seguente, et ab eorum aggregato, equatur 
sexcuplo summe collectionis omnium quadratorum , qui fiunt ab amnibus nu- 
meris .... 
(*) Opera citata p. 70. 
(*') Idem p. 73. 
('**) Idem p. 7 a. 
