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VII. 
Pel teorema di Fermat sulle potenze prime dei numeri, abbiamo 
h k — h — k m , h u — h' = kn, (* *) 
ove m , n , h , h 1 sono interi , essendo k un primo. Sottraggasi dall’ una di 
queste, moltiplicata per h', la seconda moltiplicata per h , e facciasi 
rmi' — nli — Q , 
avremo 
hh'(h*~ l — = kQ . 
Si ponga successivamente in questa equazione 
k = 2, 3 , 
avremo dalla medesima le 
hh'(h—h') hh\h 2 —h ' 2 ) 
2 ’ 3 ’ 
che saranno due interi; perciò anche la 
hh'(h 2 — h' 2 ) 
6 
sarà un intero; dunque 
(ò 7 ) hh'(h 2 — h' 2 ) = 6P , 
essendo h , li' interi qualunque. Laonde anche se due numeri p , q sieno uno 
pari l’altro impari, avremo 
ih) pvìp 2 — f) = 6P • 
Quando p, q sieno ambedue pari, od impari, sarà 
p -F- q ■= 2/* , p — q = 2 h' ; 
quindi 
pZ — qZ = bhh'. 
62(2 n -+■ l) 2 = 6S" n = 2w(2n — 1) (2 n+ 1) . 
Finalmente si ponga x — 1 n nella (ij), aggiungendovi (2 n) 2 non compreso in essa, ed otterremo 
62(2n) 2 = 6S'"„ = 4 n(n 1) (2 n +1) . 
(*) Volpicelli, annotazioni al Caraffa, parte I, p. 89 II. 0 Roma 1836. 
