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ed innalzando al quadrato sarà 
a 8 -+- 8 a 4 p 4 <jf 4 -i- 16 p 8 g 8 == h A , 
donde 
(a 4 — 4p 4 g 4 ) 2 — Wr- ( 2apqY , 
equazione che non può verificarsi, essendo il suo primo membro un quadrato, 
ed il secondo la differenza di due biquadrati; dunque ec. . . . Ma se 
pq{p> — q 2 ) 
non può essere un quadrato per interi valori delle p, q , nè potrà esserlo per 
valori frazionari delle quantità medesime; quindi anche 
%(p 2 — q 2 ) » 
cioè il numero chiamato congruo da Fibonacci, non potrà essere quadrato, 
per valori razionali dati alle stesse p, q. Infatti questo italiano geometra sul 
principiare del secolo XIII. 0 proclamò : quod nullus quadratus numerus potest 
esse congrmm (*), dandone una dimostrazione. 
Inoltre il numero 
pq[p 2 — q 2 ) , 
è la somma di una progressione aritmetica, di cui sarà il primo termine a 
espresso dalla 
a=p 2 — q 2 — pq -+- 1 , 
la differenza d= 2, il numero n dei termini rappresentato dalla n =pq , ed il 
termine generale u dalla 
M = fl + 2 (n 1 — 1 ) , 
essendo n' l’ indice della progressione. Perciò concludiamo 1° che per p , q 
ambedue pari, la progressione sarà formata di numeri impari consecutivi : 
2° per p, q impari ambedue, od uno pari l’altro impari, la progressione avrà 
i suoi termini tutti pan consecutivi. 
Il numero stesso può esprimere ancora la somma di una progressione 
aritmetica, nella quale il primo termine 
a = p-+-q — pq{p — q) 1 , 
la differenza d — % il numero de’ termini 
« 
(') Opera citata p. 98.- 
