ed il termine generale 
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n=pq(p — q) , 
u = a-+- 2(n' — 1) » 
Quindi : 1° per p , q pari, od impari ambedue, i termini della progressione 
tutti saranno impari consecutivi: 2° per p, q uno pari l’altro impari, la pro- 
gressione sarà formata da numeri consecutivi tutti pari. 
Il numero medesimo eguaglierà eziandio la somma di una progressione 
aritmetica, che abbia per primo termine 
a = p 2 -+- q 1 -+- 1 , 
per differenza d=2, pel numero dei termini 
n — q{p q ) , 
e per termine generale 
u = a -+- 2(n' — 1 ) . 
Laonde: 1° per p, q ambedue pari od impari, i termini della progressione 
medesima tutti saranno impari consecutivi: 2° per p , q uno pari l’altro im- 
pari, essi termini saranno tutti pari consecutivi. 
Per tanto, quando p , q sieno ambedue pari, od uno pari l’altro impari, 
potrà il numero pq(p 2 — q 2 ) , rappresentare la somma di una progressione 
aritmetica di numeri consecutivi, tutti nel primo caso impari, e tutti nel se- 
condo pari. Quando poi p, q sieno impari ambedue, potrà il numero stesso 
rappresentare la somma di una simile progressione di numeri consecutivi, tutti 
o pari, od impari. 
IX. 
Ora passiamo a determinare il numero delle intere soluzioni della 
(b Ll ) x 2 — y 2 = c; 
quindi anche il numero delle possibili somme di consecutivi impari, ognuna 
eguale ad un dato intero c, non doppio di un impari. Si ponga in fatti 
c — 2^ h* h/ . . . /i* T , 
essendo p, «, /3 , . . . , t esponenti interi, h l . . . , h k fattori primi, ed es- 
sendo k il numero di questi. Dovrà essere p. >* 1, quando c sia pari, affinchè 
la (b n ) possa verificarsi per interi valori della x , y; dovendo essere p = 0, 
quando c sia impari. Sappiamo che il numero N dei fattori di c, viene dato dalla 
N = ({ZH-1) («-4-1) (/3-Hl) . . . (t-h l); 
