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tori primi fra loro; cioè sarà 
(*u) v s = 2*-‘; 
formula già riportata dal sig. Poinsot (*), e precedentemente da Legendre (**) 
pel numero delle indicate decomposizioni. Qui dobbiamo avvertire che la (b ll ), 
allora soltanto avrà soluzioni intere, procedenti dalle decomposizioni di c in 
due fattori p, q primi tra loro, quando nella espressione già data del numero 
c, abbiasi p = 0 ; poiché altramente i due fattori p, q , sebbene primi fra loro , 
non saranno ambedue impari, e non potranno perciò i corrispondenti valori 
delle x, y essere interi, dovendosi verificare sempre 
p-hq p — q 
X. 
Per dimostrare le (ò 12 ), (ò 13 ), (& u ) riflettiamo che, qualunque sia p, se uno al- 
meno degli esponenti «, r sarà impari, le decomposizioni di c in due fattori, 
Q 
uno pari l’altro impari, proverranno dalle decomposizioni binarie del numero , 
Z 
ognuna delle quali dovrà combinarsi coi fattori 1, e 2'“, permutati nella me- 
c 
desima. Così, per esempio, la decomposizione generica A xB del numero^- 
" 9 
combinata coi fattori 1, e 2^ permutati, darà le due decomposizioni 
l.A x 2“. B , 2«. A x l.B , 
del numero c, ognuna di due fattori, uno pari l’altro impari. Ma il numero 
di queste decomposizioni è dato dal prodotto 
2(«+l)(/3 + l)...(r+l) _ 
2 ; 
ti 
dunque sottraendo questo numero dall’altro n l , precedentemente indicato, avre- 
mo il numero v l delle decomposizioni di c, ognuna di due fattori pari, di- 
versi fra loro; e sarà 
_ (p — 1) (a 1) (/3 -+- 1) . • ■ (t h- 1 ) 
y i— 2 ’ 
laonde si vede che dovrà essere p >» 1. 
(*) Comptes Randus T. 28, p. 582, an. 1849. 
(**) Théorie des nomhres T. I. Paris 1830, p. 8. 
