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3.° Supposto p = 2, sarà 
v i = v > v 2 = v": 
per le quali due concludiamo, che il quadruplo di un composto solo di primi, 
ognuno della forma 4n -t- 1 , eguaglia tante volte la differenza , quante la 
somma di due quadrati. 
Finalmente pel teorema ben cognito di Leonardo pisano : Consideravi 
super originerà omnium quadralorum numerorum , et inverni ipsam egredi ex or- 
dinala imparimi ascensione , abbiamo 
ìc 2 = 1 — t— 3 — t— 5 —4— . . . -\-2x — 1, 
ìf = \ — i— 3 — !— 5 — . . . - 4 - 2y — 1, 
e, supposto x >y , sarà 
x 2 — y 2 = 2y -+- 1 H- 2y -+- 3 -+- . . . -\-2x — 1 : 
dunque 
c = 2 y — t— 1 h— 2 y h— 3 — t— • . . -+■ 2x — l . 
Concludiamo per tanto che ogni numero c, eccetto il doppio di un impari, 
è tante volte rappresentato dalla somma di x — y numeri impari consecutivi, 
a cominciare da 2y -+- 1 , e terminare con 2x — l , quante sono le intere so- 
luzioni della x 2 — y 2 = c , il numero delle quali è dato dalle (& 12 ), (b lz ): se c 
sia quadrato, vi sarà di più la decomposizione 
c = 1 -t- 3 -f- 5 2 \f c — 1. 
Da questo teorema discende, che qualunque numero, eccetto il 4 e 1’ unità, 
dev’essere, o il doppio di un impari, o la differenza di due quadrati. 
Termineremo l’analisi della (& u ) riflettendo, che le due formule precedenti 
(/a — 1)H li 
v i— 2 ’ 
possono riunirsi nella unica 
(*y 
w, 
(-1) 2 >-l)H 
2 
la quale, se abbiasi p. = 0, vale a dire c impari, darà 
wi = v 3 ; 
e se abbiasi p pari od impari, vale a dire c pari, darà 
