— no — 
d — 2n , u = n -t— 2 n(ri — 1 ) ; 
e fatto successivamente 
sarà 
ri = 1 , 2, 3, . . . , n , 
(3) n 3 = ?i -+- 3 m -+- 5n h- . . . (2 n — 1 )n. 
Perciò il cubo w 3 , eguaglia n volte la somma di n termini, a cominciare da 1, 
ed a continuare senza interruzione sino a 2 n — 1; quindi la (3) comprende la (2), 
cioè il noto teorema di Leonardo pisano. Si ponga 
n= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
sarà 
l 3 = 1, 
2 3 = 2 -4- 6, 
3 3 = 3 -+- 9 -h- 15, 
4 3 = 4 12-4- 20 h- 28, 
5 3 = 5 -h 15 h- 25 h- 35 -+- 45, 
6 3 = 6 . -t- 18 h- 30 -4- 42 -4- 54 66, 
7 3 = 7 -+- 21 -4- 35 -4- 49 h- 63 h- 77 -4- 91. 
8.° Posto nelle (1) 
sara 
a = 3 , p— n 2 — W4-1 , 
d = 2 , u — n(n — 1) -+- 2w' — 1 j 
laonde* fatto successivamente 
ri = 1, 2, 3, . . . , n , 
avremo 
n 3 = n(n — 1 ) + 1 + n(n — 1 } -4- 3 -4- . . . -4- n(n -4- 1 ) — 1 . 
Ma i numeri 
n(n — 1 ) , n(n -+- 1) ,. 
sono ambedue pari; perciò concludiamo che qualunque cubo u 3 , è la somma 
di tanti numeri consecutivi impari, quante sono le unità di n, incominciando 
cioè con n(n — 1) -4- 1* e terminando senza interruzione con n(n - 4 - 1 ) — 1. 
Facendo 
ii— 1, 2, 3, 4, 5, 6,, 7,, 
