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avremo 
nZ =-j (» -+■ 1) -+- i n -+■ 3 ) -+■ y [n -+- 5) -+- . • • H- -+~2n — 1) ; 
perciò se pongasi 
n— 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 
nasceranno le 
l 8 =rl, 
2 3 = 3-4-5, 
3 3 = 6-4- 9 h- 12, 
4 3 = 10 -4- 14 h- 18 h- 22, 
5 3 = 15 h- 20 25 -+- 30 35, 
6 3 = 21 h- 27 -4- 33 -+- 39 45 -4- 51, 
7 3 = 28 -4- 35 -4- 42 -+- 49 56 -t- 63 h- 70: 
si avrà eziandio 
= (1 ■+■ «)|-+-[2 -+- (« -+■ !)]|-i-[(3 -i- (»+ 2)]i 
-t- [n -+- (2n — l)]i. 
Perciò qualunque cubo n 3 , nasce addizionando tante somme di progressioni 
aritmetiche, ognuna di n termini, quante sono le unità contenute in n. 
10.° Inoltre, poiché abbiamo : 
il 
(1 -I- n) = 1 -4- 2 -4- 3 - 4 - . . . - 4 - n, 
jjà ( n ■+■ == 2 ^ ■+■ 4 - 4 - . . . -4- n -4- 1, 
J^3 -4- (il -+- 
J^'W -4— (2n — • l^J-^- — - W ”4— fi -4— 1 -4- Il -4— 2 - (— . . . -4— 2 II — 1 ) 
perciò concludiamo: l.° che la disposizione degli n secondi membri di queste 
eguaglianze , costituisce il quadrato di lato n ; 2°. che la somma dei mede- 
simi uguaglia il cubo n 3 ; 3.° che la somma dei numeri di ognuna delle due 
*]t 
2 , 
