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Ognuno vede, dopo quanto abbiamo esposto, che moltissimi altri teoremi si 
potranno dimostrare, seguendo il metodo generale ora indicato, e stabilendo 
altre dipendenze, fra gli elementi delle formule fondamentali delle progres- 
sioni aritmetiche. 
XVI. 
Possiamo anche dalle formule che definiscono le progressioni geometri- 
che, trattate similmente, dedurre altri teoremi sui numeri. Ed in fatti , ri- 
tenute le precedenti denominazioni , si dica q il quoto per una di tali pro- 
gressioni; sarà 
(5) S= P~ZIJ’ u=Pf l ~ i ’ 
essendo u — w, ultimo termine della progressione, quando abbiasi ri = n. 
l.° Ciò premesso, pongasi 
s = q n — 1 , 
dalle (5) avremo 
p—q—l, u = (q — \)q nl ~ 2 ; 
e posto successivamente 
ri = 1 , 2, 3, . . . , », 
sarà 
q n — 1 = (1 - 4 - q '- 4 - q 1 - 4 - . . . - 4 - q n ~ l ) (q — 1 ) ; 
di qui si ottiene immediatamente la cognita divisibilità 
- t= 1 -I- q -+- q 1 -+- . . . - 4 - q n ~ l , 
q — 1 
dalla quale, fatto q = 2, avremo 
2" — 1 = 2° -+- 2 1 -h 2 2 - 4 - 2 3 -+- . . . - 4 - 2"“‘. 
2.° Poniamo nella prima delle (5) 
s = n a 
avremo 
quindi la 
P 
t — i 
ì 
9 — 1 
n a , u = 
1 
q — 1 , 
— — rì‘q n ~ 
9" — 1 
1 . 
1 
q n — 1 q n — 1 * g" — 1 
che per altra via ne conduce al risultamento precedente. 
