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XVII. 
Termineremo questa nota, enunciando la seguente proposizione, che seb- 
bene riguardi le proprietà dell’equazioni algebriche determinate , pure stret- 
tamente si congiunge alla teorica dei numeri. 
Abbiasi la 
(0) — A 2 w"- 2 — A3W”- 3 — . . . — A „_ l( a — A„ = 0 , 
nella quale « sia l’incognita, ed n il suo grado: inoltre, indicando p, q due 
qualunque interi positivi, dovrà essere 
A, — — ■ g ^ 9) 2 — (P-I-^)] . 
A 3 = 
n(n • — 1 ) (n — 2) 
[ {p -+- qY — {p z g 3 ) ] » 
A„_ 4 = n [ (p H- q) n 1 — (p n ~ l - 4 - q n 4 ) J , 
A„ = (p-+- q) n — (p n -t- q n ). 
Esprimasi con r la sede occupata da qualunque termine della (</), dal primo 
in fuori; è chiaro che il termine generale della medesima sarà 
i(n — 1) . . . (n — r-t-1) 
[ ( p -+- q) r — {p r -+- q r ) ] w "" r - 
1 . 2.3 . . . r 
Per tanto la equazione stessa potrà compendiosamente ridursi nella 
v^w(w — 1) . . . (n — r 1) 
1 . 2.3 
[(p ■+■?}-— if + q") ]«"■% 
in cui dovrà l’indice r , uno dopo l’altro , ricevere i valori tutti da 2 sino 
ad n inclusi' vamente. 
Ciò premesso è manifesto che la ( g ) , per essere a coefficienti ognuno 
intero, ed ognuno negativo, tranne il primo, non ha veruna radice fraziona- 
ria, e possiede una sola radice reale positiva. Ora la rimarchevole proprietà 
dell’equazione (g), consiste in questo, che 1’ unica sua radice reale positiva, 
non potrà essere neppure intera , ovvero sarà sempre irrazionale , purché 
sia n > 2. 
Quindi l’equazioni 
