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Per tanto i residui così ottenuti, costituiscono il periodo 
4, 3, 4, 1, 4, 7, 4, 5 ; 
laonde per interi valori dati ad », non potrà essere 
X = 0 , (mod. 8), 
e quindi neppure pei valori medesimi, si potrà ottenere (*) 
X = 0 ; 
dunque non verrà soddisfatta questa equazione per valori razionali positivi 
o negativi dati ad «, come in generale fu asserito per la (</). 
APPENDICE 
Abbiamo dimostrato (§. XI. pag. 24) un teorema nuovo , relativo alla 
partizione dei numeri, che si lega strettamente alla x 2 — y 2 = c ; ora di- 
mostreremo un’altro nuovo teorema (**) simile al precedente, ma che invece 
si congiunge alla x 2 x h- y 2 l = c. Abbiamo in fatti pel citato teorema di Leo- 
nardo pisano 
x 2 L = 1 H- 3 -t- 5 -f- . . . 2y l — 1 -+- 2y l -+- 1 2x L — 1, 
y 2 l — 1 ■+■ 3 H- 5 -4- . . . -+- 2 y l — 1 ; 
e, supposto x 1 >» y L t sarà 
x 2 ^ -+- y 2 y — 2-t-6 -+- 10 h- ... H- 2(2 y { — - 1) h- 2 y l + 1 + ... -+-2x l — 1; 
quindi 
c--=2-!-6H-10-(-...-f- 2(2 y l — 1) ~h 2y l -+- 1 -t- ...-+- 2x t — 1. 
Dunque ogni numero c spezzabile in due quadrati x 2 l , j/ 2 1 , eguaglia sempre 
la somma di due progressioni aritmetiche, la prima composta di y l termini, 
a cominciare con 2, e terminare con 4 y l — 2; la seconda composta di x l — y l 
termini , a cominciare con 2y i -+- 1 , e terminare con 2x t — 1. Tante poi 
saranno queste decomposizioni di c , quante le note soluzioni intere della 
x 2 l h- y 2 l = c, date di numero, secondo i tre diversi casi, dalle (§. XI) 
v = !H, v' =;| s (H -+- 1) , = 1(H — 1). 
(*) Gauss, Recherches arithmétiques. Paris, 1807, p. 4. §. 11. 
(**) Comunicato nella sessione de’Nuovi Lincei, del 3 giugno 1855. 
