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(uz r P, z) = 21u /l z r P k+sh+(e ' e, ‘- r)pa U . 
Maintenant on voit, que la somme par rapport à i, est toujours égale à zero, 
excepté le cas, que e'(j h — r = 0, mod, p, dans lequel cette somme devient 
égale à p. On en conclut d’abord: 
Si r est un multiple de p , V expression [(oz rp , z) est égale à zèro ; car 
alors la condition e'g k = r, mod. p, ne peut ètre satisfaite pour aucune valeur 
de h puisque, g étant racine primitive pour le module p a , e' n’est pas divi- 
sible par p. 
Soit dono r un nombre premier à p , soit de plus p un nombre satis- 
faisant à la congruence e'g? = r, mod. p, toutes les valeurs de li, pour les- 
quelles la somme, prise par rapport à i, n’est pas égale à zèro, mais égale 
à p, seront comprises dans la formule p -t- (p — 1 )k, et de là cette doublé 
somme se réduit à 
(vz r P, z) = pcoPZ z rp P+ r P ( P- i)*V +(p - 1,f , 
pour k — 0, 1 , 2, . . . , p a ~ 2 — 1. 
Si on fait cu = 1 , on aura comme cas spécial 
(z’-p, z) =pl z >-pp+’->Hr-M+g p+(p -u' c . 
et, en substituant cette somme dans l’expression générale, 
(az’ P, z) = o ùP(z rp , z) , 
ce qui montre , que la racine w n entre dans V expression (wz' /; , z) , que 
comme simple facteur «p, et qiCelle ny entre nullement si p = 0, mod. p — 1, 
c'esl à dire si r = e 1 , mod. p. 
L’expression trouvée de (» z rp , z) est eneore susceptible de simplifications 
ultérieures, qu’on obtient en mettant k-^-p a ~^i au lieu de k, ce qui donne, 
en supposant a !> 3, 
a-3 
(o)z rp , z) — po)P22z r P p+rp( P~ i - )/ ‘ +r P a ~ 2< P~ l>i+sP+(P ~ i}k+P {p ~ v ' 
pour k = 0, 1, 2, . . . , p a *" 3 — 1, i == 0, 1, 2, . . . , p — 1. Ayant déjà posé 
g p ~ l = 1 + e'p, on a, en élevant à la puissanee de rexposantp““ 3 ?, et rejetant 
les multiples de p a , 
