— 239 — 
a -3 
7 P (p-l)i — \ 
I 
ep 
e' 2 p a l i 
mod. 
ce qui, substitué dans la somme précédante, donne 
( a Z r P, z)—prf 22 z rpp+rplp-M+rp a -^p-l)i+ S r+ip - i),! ^\ 
e'p a H ■ 
e' 2 p a 
lei la somme par rapport aux valeurs de * = 0, 1 , 2, . . . ,p — 1 est aussi 
égale à zero, à l’exception des cas où l’on a 
(2 
r(p — 1) -+- gp +( p~ l)k (e' ^ ) = 0 mod . p 2 , 
dans lesquels cette somme est égale à p. Soit donc p une valeur de 
p -+- (p — 1 )k, satisfaisante à la condition 
f 2 
r(p — 1 ) -+- g pl ( e' — = 0, mod. p 2 , 
toutes les autres valeurs convenables de p -i- (p — 1 )k, seront comprises dans 
la forme p'-*-p(p — 1 )h, donc l’expression donnée se réduit à 
(co z rp , z) == p 2 (opIz rp p' +rp2<p ~ i)h+sP +P<P ~ l) '‘ ’ 
pour h — 0, 1 , 2, , p a ~ A — 1 . 
Si a est plus grand que 5, on changera de nouveau cette simple somme 
en une somme doublé, en prenant h -t- p a ~ 5 i au lieu de h, où les soinmes 
sont relatives aux valeurs de ù = 0, 1, 2, . . . ,p a ~ 5 — 1, *' = 0,1,2, . . .,p — 1; 
alors effectuant la sommation par rapport à i, on trouve ra 
n 2 
(C0Z rp , z) ~p*COPZ z rpp+rpS ( p-l )k+g P +p iP- il* ^ 
pour k = 0, 1, 2, ... , p a ~ & — 1, où le nombre p 1 ' est déterminé par la con- 
guence 
r(p - 1 ) - r(e' - ) = 0 , mod. pK 
La mème réduction réitérée indéfiniment, donne le resultat plus generai 
n—l 
f+P (P- U* 
(coz rp ,z)~ p n coPlz rp P +p 
où le nombre n est suppose ^ — , le nombre p doit satisfaire à la con- 
\ 
31 
