— 240 — 
dition 
/ e' 2 p e'Y ( — 1 ) ,l ~ l e' n p n ~ i \ , 
r( p — \) + g p(e'— — h ... ) , mod .p\ 
et la somme s’étend aux valeurs de k = 0, 1, 2, . . . , p a ~ 2n — 1. 
11 faut maintenant distinguer les deux cas où a est pair, ou impair. Soit 
dono 1° a un nombre pair, on prendra n = ~ , alors, la somme par rap- 
Z 
port à k , n’ayant qu’un seul terme, provenant de la valeur k = 0, 
a 
( a z r P,z)=p*coPZ rpp+sP , 
où le nombre p est determinò par la congruence 
on aura 
/ e' 2 » 
-+-<,? (e _ — . 
e'Y 
a a a 
\ o Io "o ^ 
-tw mod . ? . 
Ji ) 
2 
a — 1 
Soit 2° a un nombre impair, on fera n = — — - , et on aura 
Z 
g -3 
2 
«—1 i 2 
( W 2 rp , z) = p^~aP2z rp p +rp 2 (p-w+s p+p lp ~ u>c 9 
où la sommation est relative à/c = 0, 1,2, ...,p — 1. Quoique le nombre 
a \ 
p ne doive satisfaire qu’à la condition donnée plus haut, pour n — — , il 
z 
l' ~ * — i t — r 2 
convient ici de le borner un peu de plus , de manière qu’il satisfasse à la 
congruence 
r {p— 1) ~^9 P (e' — 
2 
g -i °+i g -i 
3«2 ( 1 \ 2 2 „ 2 f±i 
f-. V 1 -/ ) , mod .pK 
3 a 1 / 
2 
g -3 
Alors si 1’ on développe la puissance g p 2 etqu’on rej ette les multiples de 
p a , on aura 
g -i g +i g -i 
( — 1 ) 2 e' 2 p 2 
“±1 
r,P 2 (/> 
„ e ' r /-^ 2 a -=± / , e ' 3 /? 2 
= J_ 2 k l e '- — -h lr - 
2 
