241 — 
pour* le modale p “ , multipliant par g p , et faisant usage de la condition posée 
pour gP , on en déduit 
— rv a ~ l k 2 — 
gP+p 2 ip-w = gP - 1 — -+- rp 2 (p — ì)k , mod. p a , 
z 
ee qui, substitué dans l’expression trouvée de (<^z rp , z), donne 
a-l 2 
a_| rp k 
(c*z rp , z) = p~ r Cù p z'-PP +sP 2 z~ 2 . 
La somme contenue dans cette formule est généralement connue ; pour la 
représenter sous une forme plus simple, et plus facile à reconnàitre, on n’a 
a-l 
r P 
qu’àposerz 2 =: x , où x est une racine imaginaire de l’équation x' p — 1 , 
d’où elle devient 
a-l 2 
r P_ * 2 P _^_ 1 
2 z 2 == 1 -t- x L x i -+- x 9 . . . . -+- x (p ~ l) = ( — 1) 4 . | f p. 
La substitution de cette valeur au lieu de la somme, donne 
p - 1 
(az rp , z) =d= (—1) 4 . p 2 coPz rp P +sP . 
Ainsi Vex pression proposée (az rp , z), se réduit toujours à la aième puissance , de 
la racine quarrée du nombre premier p, multipliée par ime certame puissance , 
de la racine w, ime puissance de la racine z, auxquels , dans Ze cas où a 
est impair, et p un nombre de la forme 4m -4- 3 , il faut encore ajouler le 
facteur rfc \T — 1 . 
Observons encore que les résultats trouvés, donnent immédiatement la 
formule digne de remarque 
( uz rp , z) (w -1 z~ rp , z" 1 ) = p\ 
