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e quando Zen- 1 sia impari , cioè k pari , le ultime due file orizzontali sa- 
ranno: 
n-+-kh-+-k - — 1 , n-+-kh-\-k — 2 , n~^-kh—\—k — 3 , . . . . 
■ > • ) n-+-(k — 1 j/i— (— /c , n— t— (J{—~ 1 )/i — b -k — 1 j 
n—^—kìi—\—k , i%—\ — kìi—t—k—\—\ , uh— kh— I— k— i— 2 , . . . . 
^ n-±-(k—\-]'jli—\—k — 1 , h— 1— (Zch— 1 )/i— f-/t . 
Ora è da osservare che in ogni rettangolo così formato: 
1 . ° le somme delle file orizzontali costituiscono una progressione aritmeti- 
ca, crescente dall’alto al basso, di cui la differenza costante ugualia, il quadrato 
del numero dei termini, che si contengono in qualunque delle file medesime. 
2. ° Le somme delle file verticali costituiscono la serie dei numeri natu- 
rali senza interruzione, crescenti da sinistra a destra, se in ciascuna delle file 
stesse il numero dei termini sarà impari : queste somme poi saranno tutte 
uguali fra loro, se in ciascuna fila verticale, il numero dei termini sarà pari. 
Ed in fatti le somme delle file orizzontali, Ze-t-1 essendo pari od im- 
pari, vengono espresse dalla seguente progressione aritmetica 
(2uh-/i)^ 2 _ ) ’ j h-(/h-1)' 2 , (2 n -\- h )^ ^ h- 2(/ih-!) 2 , 
(2 n-\-h) 
/lH-1 
(2 n-4-fo) 
h H-1 
, (2 n-+-h) 
fc-+- 1 
2 
-(/c-l) r (fc-hl ) 2 , 
2 
l) 2 ; 
lo che dimostra il l.° asserto. 
Inoltre una qualunque delle somme verticali, quando k-r- 1 sia pari, è 
data dalla espressione seguente 
[2n H- h(k h- 1) -+- k ]^— Ì 
la quale sì ottiene distinguendo le due progressioni aritmetiche , da cui ri- 
sulta ciascuna fila verticale, sommandole separatamente, quindi prendendo la 
somma di queste due somme in ogni fila ; perciò Tespressione ora stabilita 
dimostra la seconda parte del 2.° asserto. 
Finalmente le somme delle file verticali stesse, quando k- f-1 sia impari, 
prese nel modo che ora indicammo, costituiscono la seguente progressione 
aritmetica 
