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« Il nous reste à parler de Lucas Paccioli, connu généralement sous le nom de Lucas de 
» Burgo, dont l’ouvrage principal appartieni; à la fin du X'V e siècle et peut ètre regardé 
» cornine l’origine de I’école italienne qui a produit Cardan et Tartalea, et qui a contribuc 
)) si puissamment à donner aux Sciences mathématiques la forme nouvelle qu’elles ont prise, 
» dès la renaissance, et qui résultait de l’alliance de l’algèbre des Ilindous et de la Géométrie 
» des Grecs. Cet ouvrage est intitulé : Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e 
« Proporiionalita. Il à été imprimé pour la première fois en 1494 par Paganino de Paganinis 
» de Brescia, et a eu une seconde édition en 1523. Nous avons eu occasion de le citer sou- 
» vent, et de dire déjà l’influence qu’il a eue sur le renouvellement des Sciences; aussi nous 
)) nous bornerons à en donner ici une analyse briève, dont nous nous dispenserions mème 
» si cet ouvrage était moins rare et plus connu. 
» Il est divisé en deux parties principales: 1’ une , relative à la Science du calcul, com- 
» prend Parithmétique et l’algèbre , et l’autre traite de la Géométrie. Les ouvrages dont 
« l’auteur annonce s’ètre servi pour composer le sien sont ceux d’Euclide, de Boèce, de 
» Léonard de Pise, de Giordano Biagio de Parme, de Sacro Bosco, et de Prosdocimo de 
« Padoue. 
» La première partie est un traité complet de I’arithmétique spéculative, qui considère les 
» propriétés des nombres, et de l’arithmétique pratique. 
» L’arithmétique spéculative est dans le genre des ouvrages de Nicomaque, de Théon, de 
» Boèce et de Jordan Nemorarius. Mais elle est terminée par une partie sur le nombres 
» carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages et qui est très-remarquable. C’est une 
» suite de questions qui appartiennent aujourd’hui à l’analyse indéterminée du second 
» degré. Lucas de Burgo en donne seulement les Solutions sans démonstration; il les em- 
» prunte, dit-il, du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise, où elles étaient démon- 
» trées par des considérations et sur des figures géométriques. Ces Solutions , particulière- 
» ment celle qui se rapporte à l’équation x 2 + y 2 — A , sont différentes de celles de 
)) Diophante, et sont les mèmes que celles qu’ou trouve dans les ouvrages indiens, et qui 
» ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler, ainsi que nous l’avons déjà dit en par- 
li lant de la Géométrie de Brahmegupta. 
» L’arithmétique pratique commence par l’exposition du système de numération, “ dont 
» les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas de Burgo, sont les Arabes; ce 
» qui fait que cet art a été appelé abaco pour dire el muodo arabico; mais d’autres, ajoute- 
» t-il, font dériver ce nom d’un motgrec. 1 ” On trouve les quatre opérations fondamentales 
3 de l’arithmétique; 2 la théorie des progressions, et l’extraction des racines carrées et cubi- 
» ques des nombres, arithmétiquement et géométriquement ; puis le calcul des fractions; 
» les règles de trois: celles de fausse position que l’auteur appelle, d’après Léonard de Pise, 
» règles d ’Helcataym, et qu’il attribue aux Arabes, mais qui Ieur venaient des Indiens; et 
» l’arithmétique commerciale, traitée avec une grande profusion de questions et d’exemples: 
» cette partie de l’ouvrage a été imitée par beaucoup d’auteurs allemands, dans la première 
» moitié du XVI e siècle. » 
« 2 L’auteur donne plusieurs proce'de's pour chaque ope'ration. Parmi ceux de la multiplication se trouve une 
» me'thode indienne donne'e par Ganesa dans ses commentaires sur 1 e Lilavati de Bhascara, qui consiste à ecrire 
» le produit de chaque chiffre du raultiplicande par chaque chiffre du multiplicateur , en placant se'pare'uient , 
» dans les deux cases triangulaires d’un carré, les chiffres, des unités et des dixaines. Cette méthode ingénieuse 
» sur laquelle reposc celle des bdtons de Neper , parait avoir été très-usitée dans le moyen àge et au XVI® siècle;. 
» car on la trouve dans plusieurs manuscrits (voir les n° s 7378. A et 7352 des manuscrits de la bibliothèque royale 
» de Paris) et dans plusieurs ouvrages imprime's , dont nous citerons le Compendiali de lo abaco de Pellos; 
a l ’ arithmetica practica d’Oronce Fine'e; X arithmetica practica de Peverone, et les sellala: mathematica de 
» Ramus. M. Libri l’a trouvée aussi dans un ouvrage chinois. ( Histoire des Sciences mathématiques en Italie, 
» t. I, p. 341.) » 
È da credere che il metodo chiamato « me'thode indienne » (Vedi sopra, linea 42 
della presente pagina 400) in questo passo della suddetta edizione intitolata « apercu 
» IIISTORIQUE [| SUR L’ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT || DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE, », eCC. 
sia quello stesso genere di metodo del quale il Sig. Woepcke nel passo riportalo di 
sopra (pag. 344, lin. 34-40; pag. 389, lin. 33-40, col. 2 1 ) d’ una lettera a me diretta 
in data de’27 di febbraio del 1863 dice potersi considerare rappresentate due specie 
diverse nelle figure terza e quarta del passo riportato di sopra (pag. 330) del rovescio 
della carta 2i a della suddetta edizione del 1478 (Vedi sopra, pag. 344, lin. 37-40). 
Si è in fatti dimostrato di sopra 1? Che in una figura contenuta nel rovescio 
della carta terza , numerata 3 , d una edizione intitolata « Sen segue , ecc. Cò- 
