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( 13 ) 
2n — \ — n t 
cioè 2 71^ - i quadrato^ il che corrisponde pure ad. una soluzione nota. I valori 
di n che soddisfanno all’equazione (i 3 ) sono compresi nella formola 
(«) '»= ’ 
dove i denota un numero impari positivo. 
7.° Gli antichi aritmetici hanno osservato che i numeri = 3 , j' = 4 , z= 5 , v = 6 
verificano nel medesimo tempo le tre equazioni 
/ , 2 2 2 S ^ H ^ 
( 15 ) xj ==2S , X + j = z ^ x^ : 
si può dimostrare che fra i numeri interi sono i soli i quali godano di questa 
proprietà. 
Imperocché la soluzione più generale della seconda delle (is) con numeri interi è 
X = m{a -h^) 1 JT = ^mah , z = m{a^ + b^) , 
se m, a, b siano numeri interi de’ quali gli ultimi a e ù si possono supporre 
primi tra loro; quindi la prima delle (15) darà 
j- = ìnab{a - 
e sostituendo tutto nella terza si avra 
+ 3b^ + 4ab^) = rr^ab^^a - b^)^ . 
2 cò 
Segue da questa equazione che deve essere un numero intero, e supponen- 
dosi b primo ad a, sara b^ divisore di 2, e però b = i. Adunque 
2(fl^ + 3 -t- 4 a) = m^a{a^ — 1)® , 
ossia, dividendo per a -f- 1, 
2(a - \ f + 4 = irv‘a{a - \){a~ if ; 
onde 4 divisibile per {a — if , 2 divisibile per a - 1, e cosi a - 1 = 2 , ovvero 
a - 1 = 1, il che somministra a = 3 , ovvero a = 2. L’ultima equazione per a =3 
diverrebbe 
12 = W“. 3 . 8.4 , 
1 = , 
il che è assurdo con m intero: resta dunque soltanto a = 2 che porge i—m" , 
w = 1, e quindi i valori già indicati di x,j, z, s. 
In luogo della terza delle equazioni (15) si potrebbe proporre la seguente più 
generale 
( 16 ) x^ + + z^ - s'H , 
