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Determineremo inoltre l’angolo 9 , relativo alia tangente fuocale del secondo 
fuoco, ponendo a;=: 2 c nell’ (33), e prendendo il segno -+- , dal che avremo 
tang.?>= — cot. 2 a- 
tang. 2 a 
(sen. 2 «)|/‘(c^ — c^sen.^a) 
Per la ottenuta eguaglianza dei due trovati valori di 9 , si vede che le due 
tangenti fuocali, sono fra loro parallele, come si poteva conoscere fin dal prin- 
cipio; poiché in qualunque conica, guidando un diametro, le due tangenti agli 
estremi del medesimo, sono parallele fra loro : inoltre la retta passante pei 
fuochi comuni alle coniche, è un diametro della iperbola di tangenza, perchè 
passa pel centro di questa curva. 
25. ® Dai risultamenti analitici del presente paragrafo , possiamo conclu- 
dere la relazione. 
(34) 9r=2a, 
la quale dà luogo al seguente 
Teorema IV. Guidando ad una serie di coniche omofocali un sistema 
di tangenti parallele , quindi alla corrispondente iperbola di tangenza una 
tangente fuocale, questa formerà coll'asse che passa pei comuni fuochi un angolo, 
doppio di quello, formato dal sistema delle tangenti col medesimo asse. 
Questo teorema viene delucidato dalla (fig. 1 ), in cui le tangenti fuocali 
sono rappresentate dalle ZZ' e Z"Z'” : nella figura medesima , 1’ angolo 
«>90, quindi 9 >180°. 
26. ° Si consideri ora una qualunque iperbola equilatera, per esempio la 
HMa'QITM'à'Q' (fig. 1), e non abbiasi riguardo ad altro in essa, fuorché al suo dia- 
metro qualunque a'b', ed alla relativa tangente ZZ', la quale sino qui fu detta 
fuocale, perchè passava pel fuoco alla serie di coniche comune, cui per ora non si 
deve avere più riguardo. Inoltre si rifletta che uno degli assintoti TX' della iper- 
bola di tangenza, è diretto (§4,11 .°) come lo sono le parallele tangenti alla serie di 
coniche omofocali; e che per la (34) abbiamo l’angolo b'a’Z, formato della tan- 
gente ZZ' col diametro b'a' della iperbola equilatera sopra espressa , doppio 
dell’angolo da'b'. Posto ciò, il teorema IV può ricevere un altro enunciato, 
del tutto indipendente dalle coniche omofocali , ed esprimente un’ assoluta 
proprietà della iperbola equilatera, nel modo che segue : 
Guidando per qualsiasi punto a' di una iperbola equilatera un diametro a'b', 
ed una tangente ZZ', la retta da', che divide in mezzo V angolo Za'b', compreso 
fra quelle due rette, sarà parallela ad un assintoto TT' della iperbola stessa. 
