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29. ° Dal precedente raziocinio risulta, che a tracciare completamente, mediana 
te i soli contatti, la iperbola di tangenza, concorrono tutte le coniche di comuni 
fuochi a', b', tranne quelle iperbole che hanno i loro vertici nel tratto VV', (fìg. 1). 
Uiia parte di questa iperbola di tangenza proviene dalle ellissi, e consiste nei due 
tratti costruiti continui a'Q, b'Q'; i quali progrediscono all’ infinito. L’altra parte 
poi della iperbola stessa, che apparisce punteggiata, proviene dalle iperbole, e con- 
siste nei due tratti costruiti discontinui a'MH e Quei tratti che alle ellissi 
appartengono, sono, nel caso dalla figura, minori di quelli che si riferiscono alle 
iperbole. Ma ciò non ha sempre luogo, perchè dipende dall’angolo a, che fanno 
le tangenti coll’ asse -X, X. Ponendo a 43.“ l’angolo «, che il sistema delle 
tangenti forma coll’asse delle 3c, il vertice M della iperbola di tangenza coin- 
ciderà col comune fuoco a', relativo alla serie delle coniche omofocali ; ed i 
tratti iperbolici a'Q, a'H, ò'H', b'Q' {fig. 2) di cui parliamo, diverranno per que- 
sta ipotesi uguali fra loro. Essendo poi l’angolo in proposito maggiore di 45°, 
come nella {fig. 1), saranno più grandi gli archi iperbolici a'MH, à'M'H', pro- 
venienti dalle iperbole omofocali; mentre nel caso contrario, cioè quando l’an- 
golo di cui parliamo sia minore di 43.°, saranno più grandi gli archi iperbo- 
lici, provenienti dalle omofocali ellissi. 
30. ° Nella eccellente opera del R. P. Jullien, intitolata « Problemes de 
mécanique rationelle. Paris 1833 » , si trova (T. I, p. 33) 1’ enunciato se- 
guente : « Sur une sèrie d'ellipses ou d’ hyperboles homofocales, le lieu des 
points de contact des tangentes parallèles à une direction donnée , est une 
hyperbole équilatère qui passe aux foijers communs. 
Questo enunciato è meno generale, di quello contenuto nel nostro teorema I; 
ed in fatti apparisce che, da quel chiarissimo autore, si esclude la parabola nell’e- 
nunciato suo; mentre dalla precedente analisi, e dal nostro teorema I, si vede 
che questa curva non fa punto eccezione, (§. 7, 17.°; e §• 8, 27.°); poiché come 
vedemmo (§. 7, 17.°), la iperbola di tangenza nel caso delle parabole , si 
trasforma in una retta. Inoltre poiché lo stesso eh. autore , ha distinto l’el- 
lissi dalle iperbole in quel suo enunciato, dicendo « Sur une sèrie d''ellipses 
ou d’ hyperboles » ha egli così escluso che queste due coniche possano coesistere 
nella verificazione dell’enunciato stesso. Però dalla precedente analisi, e dal no- 
stro Teorema I.° che ne deriva, si deve concludere che la stessa iperbola equi- 
latera, è luogo geometrico dei noti punti di tangenza della serie di coniche 
omofocali, ancorché queste sieno fra loro di specie diversa; cioè quand^anche 
