teggiati a'NL, 6'N'L', appartengono alle tangenti, esse pure punteggiate. Se, in- 
vece di separare in due figure, come ora per evitar confusione si fece , la 
serie omofocale delle ellissi, da quella delle iperbole, si volesse che questa serie 
di coniche omofocali, fosse in una medesima figura; allora i luoghi geome- 
trici dei punti di tangenza, consisterebbero in tutti e quattro i rami di cia- 
scuna delle due iperbole equilatere di tangenza : cioè in ciascuna iperbola delle 
due di tangenza, due archi apparterrebbero ad ellissi omofocali, e gli altri due 
ad iperbole omofocali anch’esse, come ora fu dichiarato, e come si verifica nella 
(fig. 1), per un solo sistema di tangenti; ove si vede che ciascono dei quattro 
rami della iperbola di tangenza, passa pei punti di contatto. 
Il teorema V subisce una importante modificazione , quando i due si- 
stemi di tangenti parallele, sieno fra loro ad angolo retto. Riflettiamo per tanto 
in questo caso che, nel passaggio dalla (13) alla (14), dovemmo innalzare al 
quadrato la prima di queste due equazioni, per cui disparve il doppio segno 
nel secondo membro della (13). Ciò fa sospettare che la (17) appartiene, oltre 
la caso da cui siamo partiti, cioè concernente un solo sistema di parallele, an- 
che ad un altro, cui corrisponde un àngolo jS diverso dal primo «, e condu- 
cente ad una curva di tangenza, rappresentata pur essa dalla (17). Tornando 
in fatti sulle due formule (8), (11), se immagineremo un secondo sistema di 
tangenti, parallele fra loro, e ad angolo retto col primo sistema, in tal caso, 
denotando con /3 l’angolo compreso fra il secondo sistema e l’asse delle x , 
avremo 
Ripetendo i calcoli eseguiti già nel 7", giungeremo alla 
(c — xY — (cot./3 — tang./3)(c — x)y — = o ; 
ed eliminando /3 mediante la (35), avremo 
(36) (c — xY — y^-\-{cot.x — tang.a)(c — x)y — c^ = o, 
equazione identica colla (15). Concludiamo quindi che le (15), (16), (17), rap- 
presentano ciascuna il Ijjogo geometrico dei punti di tangenza, corrispondenti 
§ 12 . 
tang.a tang.^3 = — 1 , 
quindi 
(35) 
cot.a . 
