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una iperbola equilatera. Però si deve osservare, che non sempre ciascuna co- 
nica del sistema stesso , fornisce punti per la iperbola di tangenza. In fatti 
date due direzioni , ed una conica , non esistono sempre tangenti a questa 
curva, che sieno parallele alle direzioni stesse, come già indicammo (§. 9). 
Occupiamoci quindi a ricercare con maggiore sviluppo, mediante 1’ ana- 
lisi, quali sieno le condizioni, che determinano la esistenza, o di quattro punti 
di tangenza, o di un minor numero, fra una conica e due rette parallele a 
due direzioni date. Laonde torniamo sulla (11), la quale fornisce una re- 
lazione fra r ascissa del punto di tangenza, e V angolo «, che forma la tan- 
gente ad una qualunque conica, coll’ asse dei fochi. Quindi è che, data una 
sola direzione « , volendo conoscere se la tangente ad una conica, in 
quella stessa direzione sia possibile, dovremo risolvere la (11) rispetto ad x‘, 
così vedremo se il valore di questa variabile, sia reale od immaginario. Per 
la indicata soluzione abbiamo: 
- 5 ^^ taiig.2« - (c — ai)Hang."« = (c — x)\ 
donde 
f 37 V * = g^tang.o: ^ ahen.cc 
I/"[a^(l-t-tang.'^«) — — c^cos.^a) ^ 
e la possibilità della tangente, avrà per condizione 
(38) a® — c^cos.^a > 0 . 
Si vede inoltre dal doppio segno che , non avendo riguardo alla parabola, di 
cui parleremo in seguito, hanno luogo sempre, o due tangenti, o niuna. 
40.°^ Ora dobbiamo distinguere diversi casi; ed in primo ittogfo, trattandosi 
di una ellisse, abbiamo sempre c ; perciò la condizione (38), per questa 
conica sarà sempre soddisfatta. Quindi è chiaro, che per la medesima curva, 
qualunque sia la direzione « , esistono sempre due tangenti , e perciò due 
relativi punti sulla conica di tangenza. 11 vedere inoltre che la indicata 
esistenza di due tangenti , non dipende affatto dal valore di « , ci fa 
scorgere pure che debbono esistere sempre altre due tangenti per la me- 
desima ellisse, parallele fra loro, e ad angolo qualunque colle prime. Quindi 
possiamo concludere, che dato un sistema di ellissi omofocali, e due direzioni, 
esistono sempre quattro tangenti, due a due parallele rispettivamente alle di- 
rezioni stesse. Queste quattro tangenti formano insieme un parallelogrammo; 
ed è chiaro che i punti di tangenza si troveranno sopra i lati del paralle- 
logrammo stesso, e non sul prolungamento loro. 
