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parisce dover esistere nella serie stessa una iperbola limite, la quale sarà l’ul- 
tima che possiede ancora tangenti parallele alla data direzione «. Per que- 
sta iperbola limite dalla (39) abbiamo 
2 
— = cos-'a , 
da cui, quando prendiamo per a l’angolo acuto, avremo 
a = ccos« . 
Ciò dimostra che, diminuendo a sino ad essere a < c cos.a, le tangenti non 
saranno più possibili nelle parallele; mentre crescendo a sino ad essere a>.ccosa, 
avrà luogo la possibilità delle tangenti stesse. Introducendo il precedente valore 
di a nella (37), troviamo l’ascissa del punto di contatto espressa dalla 
c^cos^a sen.a 
^ C r77~2 2 2 2^ = 00 ; 
y{c^cos(x — cxos'^a) 
da cui fa vedere che le parallele di angolo «, tangenti alla iperbola limite, 
coincidono cogli assintoti di essa, come già sapevamo (§ 9). 
§. 16 . 
45.® Per le geometriche osservazioni seguenti, riconosceremo quante delle 
parallele a due date direzioni, possono essere tangenti ad una delle iperbole, ap- 
partenenti alla serie di coniche omofocali. Sappiamo in fatti che la tangente 
alla iperbola , essendo possibile per 1’ angolo /S , dovrà esserlo anche per 
un altro « maggiore del primo. Quindi apparisce ad evidenza, che date due 
direzioni DE, GF [fig. 13), le quali facciano coll’asse X, — X gli angoli acuti 
a, /S, decideremo facilmente, se vi sieno le tangenti possibili per ambedue que- 
ste direzioni, cercando soltanto se o no vi sieno le due tangenti, per quello dei 
due angoli a, /S, numericamente minore dell’altro, che nel caso della figura è /3; 
poiché pel maggiore «, ve ne saranno a fortiori altre due, quindi la iperbola 
omofocale considerata, nel caso affermativo, ne avrà quattro. Da ciò nasce che 
avvi nel sistema delle iperbole omofocali una prima iperbola limite HMSH'M'S', 
la quale colla sua concavità limita tutte quelle iperbole omofocali, che posseggono 
quattro tangenti;e colla sua convessità limita tutte quelle altre che ne posseggono 
due sole. Similmente col diminuire l’asse reale, avremo una seconda iperbola 
limite AKBA'K'B' col semi angolo assintotico eguale ad « >► /3, che limiterà colla 
sua concavità tutte quelle iperbole omofocali, cui si appartengono due sole tan- 
genti, e colla sua convessità tutte quelle altre, che ne sono affatto prive. 
il 
