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50. “ Concludiamo per tanto , che la parabola possiede solo una tan- 
gente, parallela a ciascuna delle due date direzioni; per conseguenza, trattan- 
dosi di due direzioni date , si vede che il numero delle tangenti possibili a 
questa curva, sarà sempre due {fg. 1 1), salvo il caso in cui, delle due direzioni, 
una sia parallela all’ asse delle ascisse , nel qual caso avremo sen.a = o, e 
dalla (40) x = oc ; quindi V unica tangente perla parabola, sarà parallela al- 
l’altra direzione delle due date. È chiaro dunque che in una serie di parabole 
omofocali, non esiste verun parallelogrammo, del quale i lati sieno tangenti 
rispettivamente a queste coniche. 
51. ” Concludiamo in primo luogo, che per una serie di ellissi esiste 
sempre l’ intero parallelogrammo (fig. 5) ; in secondo luogo- che in una serie 
d’ iperbole esiste l’ intero parallelogrammo , soltanto per talune curve della 
serie (fig. 6), mentre per talune altre della serie medesima, esistono soltanto 
due lati opposti dell’ indicato parallelogrammo, e per le iperbole rimanenti non 
esiste verun lato del parallelogrammo stesso (fig. 13) ; in terzo luogo, che 
per una serie di parabole, esistono sempre soltanto due lati contigui relativi a 
quel parallelogrammo (fig- 11). 
§. 18. 
Occupiamoci ora della ricerca inversa, cioè data una iperbola equilatera, si 
domandano tanto la serie o le serie di coniche omofocali, quanto le direzioni che 
appartengono al sistema, od ai sistemi di tangenti parallele ; cosicché la data 
iperbola equilatera divenga una iperbola di tangenza, riguardo alle stesse coniche 
omofocali, ed alle direzioni delle indicate tangenti. 
Laonde riflettiamo innanzi tratto, che secondo il teorema I, la iperbola 
di tangenza, passa in generale pei fochi comuni alle coniche omofocali, cui si 
appartiene la iperbola equilatera data ; e che il suo centro coincide con 
quello comune alle coniche stesse. Quindi possiamo stabilire che, guidando un 
qualsiasi diametro della data iperbola equilatera, gli estremi suoi rappresentano 
i fuochi di una certa serie di coniche omofocali, soddisfacente al quesito attuale. 
Inoltre viene stabilito dal teorema YI, che data una qualunque serie di co- 
niche omofocali, e due direzioni perpendicolari fra loro , le tangenti alle co- 
niche stesse , parallele alle due direzioni date , hanno una sola iperbola di 
tangenza, la quale ha per assintoti le due rette, che passano pel centro dalle 
omofocali, e che sono parallele alle date direzioni. Siamo poi certi, che non 
