vi sono altre direzioni, soddisfacenti al quesito proposto, fuori delle indicate 
due, dal riflettere che nella equazione (16), appartenente alla iperbola di tan- 
genza, l’angolo a potrà solo ricevere due valori diversi soddisfacenti alla (16) 
medesima; cioè tali che cot.2« rimanga la stessa: poiché nelle attuali ricerche 
geometriche, a non può divenire maggiore di 180.° Quindi è chiaro che, fissandosi 
ad una delle indicate serie di coniche omofocali, potranno appartenere a questa, 
due sole direzioni di tangenti perpendicolari fra loro , le quali vengono rappre- 
sentate dai due assintoti della data iperhola equilatera. 
Il fin qui detto viene dichiarato dalla (fig. 14) , in cui la data iperhola 
equilatera si rappresenta con KIGK'l'G', essendone A, B i fuochi, ed LL', L"L"' 
gli assintoti. Per- tanto guidando alla stessa iperhola equilatera, un qualsiasi 
diametro a’b', i punti a', b' rappresenteranno i fuochi di una serie di coniche 
omofocali, soddisfacenti al quisito. Per maggior semplicità indicammo questa 
serie mediante una sola ellisse mngh^ tracciata con punti; nella quale pp', qq' de- 
notano la direzione del sistema di tangenti alla serie medesima, parallele al- 
l’assintoto L"L"'; mentre le pq , p'q' esprimono la direzione del secondo si- 
stema di tangenti, parallele all’altro assintoto LL'. Dal ragionamento che pre- 
cede si deduce il seguente 
! 52.° Teorema XI. Data una iperbola equilatera^ e la direzione di quel 
suo diametro, che deve passare pei due fuochi di una serie di coniche omo- 
focali , se vogliasi che la iperbola stessa divenga di tangenza, riguardo alla 
serie medesima, saranno due soltanto i sistemi di parallele tangenti alle in- 
dicate coniche, i quali dovranno essere perpendicolari fra loro. Inoltre se quel 
diametro , continuamente ruotasse intorno al centro comune 0 delle co- 
niche omofocali , varierà di luogo e di forma la serie di queste. Per tal 
modo si avrà un illimitato numero di tali serie; però i due sistemi di tan- 
genti parallele rimarranno sempre fissi, e varierà soltanto Vangelo, che le me- 
desime fanno col diametro ruotante. Finalmente i fuochi di ciascuna serie di 
coniche omofocali, si troveranno sempre sugli estremi del diametro che ruota. 
^ 53.° Si vede inoltre che ruotando li diametro a'b', la eccentricità delle 
coniche omofocali varia continumente: sarà essa un minimo, quando eguaglierà 
il semiasse reale della data iperbola; e se la eccentricità medesima cresca, si 
troveranno per ciascun suo valore due serie di coniche omofocali, disposte 
simmetricamente rispetto l’asse reale II' della iperbola proposta KIGK'l'G'. 
Quando poi la direzione del diametro a'b' si confonda con quella di un assin- 
toto della stessa iperbola, dovrà la eccentricità medesima divenire infinita. 
