Nella prima delle menzionate 
proposizioni era dimostrato che , 
nel punto C di contatto di una 
retta VZ coll’iperbola SOT, è divisa 
per metà quella parte RE della 
stessa retta , che è intercetta fra 
gli asintoti AX, AY. 
Nella seconda è de! pari geo- 
metricamente provato ; che 1’ area 
del triangolo ARE racchiusa fra 
gli asintoti, e la parte RE ad essi 
intercetta, delia tangente all’ iper- 
bola nel punto C, è costantemente 
uguale a quella del triangolo AMN 
racchiuso parimenti fra gli asintoti, 
e la tangente NM alla curva nel vertice 0: che è quanto dire uguale all’area 
del rettangolo fatto coi due semiassi a, e h dell’ iperbola. 
7. Le dimostrazioni di codesti due interessanti teoremi , dall’ antico 
geometra di Perga erano state rintracciate col metodo puramente sintetico ; 
il solo che in quell’ età fosse conosciuto ed applicato dai sapienti in ogni 
ramo di matematiche investigazioni , ed al quale la scienza va tuttavia de- 
bitrice del primordiale suo ammirabile ordinamento, e, per molti secoli suc- 
cessivi, dei suoi felici progressi , e di molti splendidi trionfi : e con metodo 
non diverso furono altresì replicate in epoche meno remote, Ano a non più 
di due secoli addietro , da geometri di alta celebrità , fra i quali segnata- 
mente primeggiano il marchese Guglielmo Francesco Antonio de Lhópital , 
e r abate don Guido Grandi, nelle applauditissine loro opere intorno alle se- 
zioni coniche. 11 ripeterle in oggi con quei possenti soccorsi, che sono som- 
ministrati alla scienza dai moderni procedimenti dell’applicazione dell’algebra 
alla geometria, non richiederebbe se non che l’impiego di sì semplici e no- 
tori artifici, che non esigono e non meriterebbero di essere qui sviluppati. 
8. Ma comunque o sinteticamente, o analiticamente possa essere convalidata 
la certezza dei due rammemorati apolloniani teoremi; il farne discendere, come 
immediato corollario, la dimostrazione sintetica di quella proprietà dell’ iper- 
bola, fattasi spontaneamente palese nello svolgimento della soluzione del pro- 
blema , che costituiva 1’ obbietto prestabilito delle presenti disquisizioni , di- 
