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Ma dalla trigonometria (a) sappiamo dover essere 
cos.^/3 — cos.^7 = — sen.(/3 ■+■ y)sen.(i3 — y ) , 
sen.^/3 — sen.^y = sen.(/3 h- y)sen.(/3 — 7) , 
2(sen.7cos.7 — sen./3cos./3) = sen.2y — sen.2/3 = 
= 2sen.(v — • /3)cos.(y -+- /3) = — 2sen.(/3 — y)cos.(/3 -4- y) ; 
perciò, introducendo questi valori nell’ ultima equazione, otterremo la 
(aj-c)^sen.(^ -h y) — yhen.{^ y) — 2(a; — c)ycos.(/3 -j- y) — c''sen.(/3 -4- y) = o , 
ovvero la 
(57) {x — cY — ì/ — 2(aj — c)ycot.(^ -f- y) — = 0 . 
66.° Questa eguaglianza, che appartiene ad una curva, rappresenta il 
luogo geometrico dei punti d’ intersecazione , fra due sistemi di parallele , 
tangenti ad una serie di coniche omofocali: perciò la chiameremo curva d’ in- 
tersecazione; ed ordinandola per le sue variabili x, y, si ridurrà nella 
(58) x^ — — 2icycot.(/3 y) — 2cic 2cycot.(/3 y) = 0 ; 
Trasportando il sistema delle coordinate parallelamente a loro stesse, in guisa 
che la origine delle medesime, dal comune fuoco, si collochi nel comune cen- 
tro delle coniche indicate ; trasporto che non potrebbe applicarsi ad una 
serie di parabole, dovremo cangiare la x in x -i- c ; quindi la (57) si ri- 
durrà nella 
(S9) 
— y^ — 2a:ycot.(/3 -4- y) •— = 0 
equazione che appartiene soltanto ad una serie sia di ellissi e iperbole, sia 
di una sola specie di queste coniche omofocali, esclusa sempre la parabola. 
§. 22 . 
67.° Paragonando l’equazione della curva d'intersecazione, ossia la (57) 
colla (16); vediamo che cangiando in questa 2« in /3 -+- y, si trasforma nella 
(57) stessa, e viceversa; perciò dobbiamo concludere, che anche la curva d’inter- 
secazione, sarà una iperbola equilatera, la quale passa pei due fuochi comuni alle 
coniche della serie, non altramente ché la curva di tangenza (§3, teorema 1). 
[a] V. Lolteri, Lezioni d’introduzione al calcolo sublime; Pavia 1821, parte 1, p. 361. 
