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Quindi è chiaro, come anche risulta dalla (60), che si ottiene la direzione di 
un assintoto HK della iperbola d’intersecazione, dividendo in mezzo l’angolo /3 — y, 
compreso fra i due sistemi di parallele tangenti alle coniche omofocali. 
Riguardo all’altro assintoto RS, si rifletta che questo, essendo perpen- 
dicolare al primo, dovrà dividere pure in mezzo l’altro angolo POM, formato 
dalle medesime tangenti, e adiacente all’ altro ^ — y. Concludiamo adunque 
che si ottengono gli assuntoti della iperbola d’intersecazione, guidando pel cen- 
tro delle coniche omofocali due rette, ad angolo di 90.° fra loro, delle quali 
una divida in mezzo l’angolo |5 — y, compreso fra le direzioni dei due sistemi 
di tangenti. 
69. ° La giustezza di questa conclusione, si può riconoscere ancora, im- 
maginando che l’asse maggiore a delle coniche omofocali, cresca senza fine ; 
allora l’ellissi della serie di coniche, si trasformeranno in circoli (§ 9, 27.°) ; 
ma in tal caso è chiaro che il parallelogrammo,circoscritto alle ellissi dalle tangenti 
ad esse, del quale i vertici rappresentano le intersecazioni delle tangenti mede- 
sime, diviene un rombo; e le diagonali, sue debbonsi ad angolo retto interse- 
care nel centro, e debbono inoltre dividere per metà gli angoli del rombo indicato. 
Da ciò risulta che i vertici di questo rombo, infinitamente grande, si debbono 
trovare sopra due rette, le quali passando pel centro, dividono in mezzo gli 
angoli compresi fra le due date direzioni. Si rifletta inoltre, cbe le diagonali 
stesse, debbono finalmente confondersi cogli assintoti della iperbola equilatera 
d’intersecazione; poiché partendo esse dal centro, passano ciascuna pei vertici op- 
posti, dei quattro, appartenenti al rombo infinitamente grande, i quali vertici si 
trovano sulla stessa iperbola equilatera. Dobbiamo quindi concludere nuovamente, 
che quelle rette , le quali , passando pel centro , dividono in mezzo l’angolo 
delle date due direzioni, rappresentano gli assintoti della iperbola d’intersecazione. 
70. ° Riassumendo quanto fu ora esposto, possiamo enunciare il seguente 
Teorema XII. Guidando a una serie di coniche omofocaliy due sistemi di 
tangenti parallele fra loro, i punti d' intersecazione delle medesime, si trove- 
ranno sopra una iperbola equilatera; la quale, passando pei fuochi delle omo- 
focali stesse, avrà gli assintoti che s'intersecheranno nel centro, e divideranno 
rispettivamente in mezzo gli angoli adiacenti, compresi fra le date due dire- 
zioni di quelle tangenti. 
Questo teorema viene dichiarato dalla (fig. 1 6), nella quale la serie delle 
coniche, aventi gii stessi fuochi a', b', viene rappresentata da una ellisse p-, v, 
e dalle quattro iperbole 
