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82." Per un primo caso la iperbola di tangenza, diviene una retta, qua- 
lunque sieno i valori di e 7> purché abbiasi c = oc ; poiché posto ciò, la 
(58) si riduce nella 
^COt.(|3 -+- 7 ) £C = 0 , 
ovvero nella 
y — x tang.(/3 -h 7) , 
appartenente ad una retta, che passa per l’origine, cioè pel comune fuoco delle 
coniche, facendo coll’asse delle x un angolo -t- 7. Ma c —<x> appartiene alla 
parabola, come fu osservato (§. 1, 4.°); avremo dunque il seguente 
Teorema XVI. Guidando ad una serie di parabole omo focali ^ due sistemi 
di parallele ad esse tangenti; la iperbola d'intersecazione riducesi ad una retta, 
che passa pel comune fuoco, e che forma coll'asse delle ascisse un angolo, uguale 
alla somma degli angoli, che formano coll'asse medesimo i due nominati si- 
stemi. Quindi V angolo formalo dalla retta d' intersecazione coll' asse delle 
parabole omofocali, sarà doppio (n." 25.°) di quello formato dalla bisettrice 
dell'angolo dei due sistemi, coll'asse delle parabole stesse. 
Il teorema ora enunciato, viene posto in chiaro dalla (fig. 11), nella quale 
rappresenta b' il fuoco comune delle parabole ; rappresenta poi H6, H'G', 
H"G", . . . , il primo sistema di parallele; mentre G'K', G"K", . . . , ne 
rappresenta il secondo; ed Mb' la retta, luogo geometrico dei vertici G', 
G", . . . ,b'. Quindi é chiaro che la sola b'M, protratta infinitamente oltre il 
punto M, rappresenta quella parte della retta espressa dalla equazione pre- 
cedente, che appartiene al geometrico luogo dei vertici, od intersecazioni. 
83." Per un secondo caso, vediamo quando sia possibile, che la iperbola 
d’intersecazione riducasi ad una, 0 due rette , indipendentemente dal valore 
di c. Ma prima di ogni altra cosa, formiamoci l’equazione della iperbola d’ in- 
tersecazione, riferita agli assi della medesima; lo che otterremo, facendo nella 
(26) 
la trasformazione solita di a in 
^ -4-7 
2 
, ed avremo l’equazione 
(62) — 1/'^ = c^sen.(/3 -f- 7), 
la quale suppone uno spostamento angolare {xx') del sistema coordinato, che si 
ottiene facendo nella (24) , il solito cangiamento di a in — ^ ; co- 
sicché abbiasi la 
( 63 ) 
% 
