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SUR UN PROBLÉME INDÉTERMINÉ 
NOTE DE M. CASIMIR RlCHAUD 
Problème. Troiwer deux nombres entiers consécutifs x et x + tels qiie la dif- 
férence de leurs cabes soit représentée par ime somme {ou ime différence) 
de deux cubes. 
i? D’après l’enoncé 
(1) {x+ 
ou 
( 2 ) (7 + z) \{j + zf- 372 ^ = ‘^X^+ 3X+ 1 = ‘ìx{x + i) + 1 . 
Gomme l’un des deux entiers x et u: + i est force'ment pair, le second mem- 
hre est de la forme 6 ^+ 1 , et méme de la forme za. On a en efFet iden- 
tiquement . 
1 ? pour X =^x\ 3(4x'^) + 3(2x') -r- 1 = {zx^+ lf+ zx "^ 
2 ? pour X =2x'+ 1 , 3(2.r+ \ f+ 3(2x'+ 1 ) + 1 = {zx'+ 2f+ 3(x + 1)*; 
Dès lors ^ +z, qui est = i(mod. 6 ), est aussi de la forme t^+zu. 
Posons donc 
s^~ 1 
Y + z = s et = A 
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l’e'quation ( 2 ) devient 
d’où 
x^ + X = A sy- + sy^ 
-i+\Ji + 4 A — Asy + Asy^ 
si Fon pose 
(3) 
447 ^^- Asy = f-AA-ì. 
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