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Cette relation ( 3 ) donne 
j' + t» 
ou jr , en posant 
v/3'(6-^+ f- 4A- 1 ) 
(4) Ak- 
Cette dernière relation devient 
2 2 1 2 - 1 . 
t - sv = A + 1 - = A. 
3 3 
Ainsi, en résumé, Tequation ( 1 ) peut étre remplacée par le système suivant: 
(«) 
+ 1 
s —V 
2 
2 2 
s étant des deux formes = i(mod. e), eta%3è^j ^ et étant racines de l’e'quation 
2 . Cette e'quation f- su^= jouit de la propriéte' suivante. Si les nom- 
bres ^ et la ve'rifient, elle est e'galement ve'rifie'e par le nombres 
, {S + i)t + 2SV , 2t + {S + i)v 
J - 1 ’ J - 1 
Par suite on peut trouver une infinite' de Solutions de l’equation 
{m) ak=b^+c^+ d? 
avec une seule solution particulière de la méme e'quation, au moyen des formules 
(a + c — d){c + d) + a — i {a + c — d — i)(c + d) + a 
a,= ; b,— 
c + d - i 
c{c + d) — d + 2a - i 
c + d - i 
C ir d - \ 
d{c + d)~c - 2a + 1 
c + d — i 
ainsi, en partant de la solution 6^= 5^+ 4^+ 3^ déduite de l’e'quation particulière 
114, on trouverait successi vement 
« 1=9 , Z?i= 8 , c,= 6 , 1 
aa= 53 , 62= 50 , 62= 29 , d ^= — 8 
fi! 3= 971, ^3=961, C3= 361, fi?3= - 151 . 
Si l’e'quation 
est ve'rifie'e par les nombres t eX v , elle est aussi 
