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delle due iperbole di tangenza, che appartengono alle medesime due date di- 
rezioni, sappiamo (teorema I) che queste posseggono ciascuna un assintoto pa- 
rallelo alle direzioni stesse; vale a dire una di queste iperbole ha un assintoto 
parallelo ad una direzione, mentre l’altra iperbola lo ha parallelo all’altra delle 
direzioni stesse. Quindi dobbiamo concludere il seguente 
Teorema XXI. Avendosi due iperbole di tangenza, corrispondenti a due si- 
stemi di parallele tangenti, e la relativa iperbola d'intersecazione; gli assintoti 
di questa, divideranno in mezzo gli angoli compresi fra i rispettivi assintoti 
delle iperbole di tangenza. 
121. ” Riflettendo che tutte le iperbole dei luoghi geometrici di cui si parla, 
sono equilatere, e che in ciascuna delle medesime, gli assi dividono in mezzo 
gli angoli degli assintoti, facendo ciascun asse, in ognuna delle iperbole, un 
angolo di 45.” con ciascun assintoto della medesima; si conclude senza diffi- 
coltà dal teorema precedente, che gli assi della iperbola d' intersecazione, di- 
vidono in mezzo gli angoli compresi (ragli assi delle due iperbole di tangenza. 
122. ” Osserviamo inoltre, che tanto le due iperbole di tangenza, quanto 
quella d’ intersecazione , passano tutte pei fuochi comuni alle coniche della 
serie ; però è facile dimostrare, che non esiste altro punto comune a queste 
tre iperbole. In fatti ponendo l’origine delle coordinate nel centro delle co- 
niche omofocali, abbiamo dalle (21) e (59), perle indicate tre iperbole equi- 
latere, le seguenti equazioni 
— 1/^ — cot.2/3 — c'^ = o , 
— 25C1/ cot.2y — = o , 
— ìxy cot.(/3 -+- y) — ~ o , 
la prima e seconda delle quali rappresentano le due iperbole di tangenza, appar- 
tenenti ai due sistemi di parallele tangenti, che formano rispettivamente col- 
l’asse delle X, una l’angolo /3, l’altra l’angolo y; e la terza rappresenta la iper- 
bola d’ intersecazione , appartenente a questi due sistemi. Volendo trovare i 
punti d’ intersecazione possibili fra due di queste tre curve, p. e. fra la prima 
e la seconda, le dovremo considerare coesistenti; perciò sottrando l’una dal- 
l’altra, otterremo la condizione 
(cot.2y — cot.2/3)xy = 0 , 
che viene soddisfatta sia per x — o, sia per y ~o. 
