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Fatta la sostituzione nella (94), cangiata prima in 
= 2 c^(cos .^9 — sen.» , 
essa ridurrassi alla 
(96) — , 
equazione dello stesso luogo geometrico, riferito però ad un sistema ortogonale, 
coH’origine al centro comune delle coniche omofocali. 
155. ° Confrontando la (96) colla (91), si vede che queste coincidono fra 
loro, quando la della (91) si cangia nella 2c^^ ; vale a dire, quando pongasi 
m = c [/" 2 . 
Quindi apparisce ad evidenza, che la (96) rappresenta essa pure una lemniscata; 
cioè la pedale centrica di una iperbola equilatera (§ 41, (150.°)). Il semiasse 
traverso m di questa iperbola, coincide, come vedesi dalla equazione sua, con 
quello delle a;, e la sua lunghezza è c[/'2, mentre la eccentricità sua si esprime 
con 2c. Infatti sappiamo che la eccentricità di una qualunque iperbola equi- 
latera, ed avente per semiasse trasverso m, si ottiene dalla 
= |/'(2w2) = |/'(2.2c2) = 2c . 
156. ° Dai precedenti ragionamenti si conclude il seguente 
Teorema XXVIII. Guidando ad una serie di coniche omofocali, tanti 
sistemi di parallele tangenti , sarà il geometrico luogo dei fuochi delle re- 
lative iperbole'^di tangenza Una lemniscata. Gli assi poi della iperbola equila- 
tera, generatrice di questa lemniscata, coincideranno con quelli comuni alla 
serie delle coniche indicate, mentre la eccentricità della iperbola medesima, J ^ 
sarà doppia di quella comune alle coniche stesse. 
157. ° La costruzione (fig. 28) dichiara il teorema ora enunciato, nella 
quale a' , b' indicano i fuochi comuni alla serie delle coniche , rappresen- 
tate per maggior semplicità da una ellisse MN, e da una iperbola ABA'B'. II 
numero delle iperbole di tangenza , generalmente parlando , è illimitato; ma 
nella figura medesima queste iperbole sono rappresentate da due soltanto, cioè 
dalla F a' r" G F' b' r'" G', e dalla C a' s" D C' b' s'" D', le quali, come si vede, 
passano 1’ una e l’altra pei due fuochi a', b', comuni alle coniche omofocali. 
Appartengono (§. 18, (52.°)) alla prima iperbola di tangenza le direzioni SS', 
TT' delle tangenti perpendicolari fra loro; ed alla seconda iperbola di tangenza 
le altre due direzioni T"T"' , S"S"' , anch’ esse perpendicolari fra loro. Gli 
