— 278 — 
assi trasversi di queste due iperbole di tangenza , si trovano rispettivamente 
sulle direzioni PQ, P'Q'. La lemniscata, luogo geometrico dei fuochi delle iper- 
bole equilatere di tangenza , vedesi rappresentata dalla 0 q h s r 0 r' s' g q' . 
Inoltre la iperbola generatrice di questa lemniscata è la I /i K P ^ K', che pos- 
siede una eccentricità Of, doppia di quella Oa', appartenente alle coniche omo- 
focali. E poi manifesto che gli assi OX, OY della iperbola equilatera \hKV g K', 
generatrice della lemniscata 0 q r 0 r' q\ sono coincidenti con quelli che ap- 
partengono alla serie di coniche omofocali. Finalmente, supponendo cognita la 
lemniscata , luogo geometrico dei fuochi delle varie iperbole di tangenza , si 
troverà il fuoco di una qualunque iperbola di tangenza F a' G F' r'" G' , nei 
punti d’ incontro r, r' dell’asse PQ di questa iperbola colla lemniscata indicata. 
158. ° Fu stabilito (§. 22, (72.°)) che la iperbola d'intersecazione, ap- 
partenente a due sistemi di parallele, tangenti ad una serie di coniche omo- 
focali , può eziandio considerarsi come iperbola di tangenza, relativa ad un 
terzo sistema di parallele , tangenti alla medesima serie di omofocali , e vi- 
ceversa. Perciò, se immagineremo tante iperbole d’ intersecazione, avremo in 
queste altrettante iperbole di tangenza, ognuna relativa ad un altro sistema 
di parallele tangenti alle medesime omofocali; dobbiamo quindi concludere il 
seguente 
Teorema XXIX. Guidando ad una serie di coniche omofocali, tanti si- 
stemi di parallele tangenti le coniche stesse, il geometrico luogo dei fuochi 
delle diverse iperbole d' inter seeazione , sarà una lemniscata y e la seconda 
parte del teorema precedente, avrà luogo egualmente anche in questo. 
§ 48. 
159. ° Dopo aver trovato il geometrico luogo dei fuochi, appartenenti alle 
diverse iperbole di tangenza, e d’intersecazione; passiamo a determinare quello dei 
vertici delle iperbole medesime , che sarà pur esso una lemniscata. In fatti 
denotiamo con a^ il raggio vettore della curva, luogo geometrico cercato; e ri- 
flettiamo che in una qualunque iperbola equilatera, il rapporto fra il semiasse 
trasverso, e la eccentricità, si esprime sempre con — ^ . Perciò, siccome a^ 
y 2 
rappresenta pure il semiasse trasverso, ed essendo (§ 42) già denotata con Cj 
la eccentricità di una qualunque iperbola equilatera di tangenza ; così do- 
vremo avere 
