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Supponendo poi cognita la lemniscata dei vertici , si troveranno anche 
quelli r", r'" di una qualunque iperbola di tangenza F r" G F' r'" G', i quali 
consistono nei punti d’ incontro dell’asse PQ di questa iperbola, colla medesima 
lemniscata. 
164." In quella guisa che il teorema XXVIll fu esteso, mediante il teo- 
rema XXIX, alle iperbole d’ intersecazione , similmente potremo estendere il 
teorema che precede alle iperbole stesse, mediante il seguente 
Teorema XXXI. Guidando ad una serie di coniche omofocali tanti si- 
stemi , ognuno di parallele tangenti alle coniche medesime , il geometrico 
luogo dei vertici delle relative iperbole d' intersecazione, consiste pur esso in 
una lemniscata; e la seconda parte del teorema XXX, avrà luogo egualmente 
anche in questo. 
Dividendo la (99) per la (94), avremo 
a, : c^=: 1 : ^^2 , 
e siccome a^ , sono i raggi vettori appartenenti al medesimo valore di 
relativi alle due lemniscate, una dei vertici, l’altra dei fuochi delle iperbole di 
tangenza; così vediamo che queste lemniscate sono simili fra loro, e similmente 
poste, rispetto al centro comune ad esse. 
§ 44. 
I teoremi finora dimostrati circa i luoghi geometrici, tanto dei fuochi, quanto 
dei vertici delle iperbole equilatere, sia di tangenza, sia d’ intersecazione, possono 
ancora ottenersi mediante un punto di vista, differente da quello che precede; cioè 
quei teoremi si possono raggiungere, senza dipendere dalla omofocalità delle co- 
niche date. In fatti guidando ad una serie di coniche omofocali tutte le iper- 
bole equilatere di tangenza, corrispondenti alle possibili direzioni dei sistemi 
di parallele tangenti, sappiamo che queste iperbole (§ 4, (1 1.")) hanno un centro 
comune, il quale coincide con quello appartenente alle coniche stesse. Sap- 
piamo inoltre che queste iperbole di tangenza, debbono passare pei due fuochi 
comuni alle coniche omofocali. Da ultimo sappiamo (§ 18, (S2.")) che qualunque 
iperbola equilatera soddisfacente a queste condizioni, deve considerarsi come 
iperbola di tangenza rispetto ad un sistema di coniche omofocali. 
165." Da ciò discende che le iperbole, siano di tangenza, siano d’inter- 
secazione si possono anche definire indipendentemente dalla omofocalità, di- 
cendo che sono esse quelle iperbole equilatere concentriche, passanti per due 
punti egualmente lontani dal centro loro comune, i quali si congiungono da 
