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una retta, che passa pel centro stesso, e che perciò costituisce un diametro 
in ciascuna iperbola; quindi è chiaro che, se la iperbola medesima passerà per 
uno di questi due punti, dovrà passare anche per l’altro. Da ciò concludiamo 
che le condizioni ora indicate, per determinare completamente le stesse iper- 
bole equilatere , senza dipendere dalla omofocalità , si riducono soltanto alle 
due seguenti, cioè: 1 che le iperbole equilatere, sieno di tangenza, sieno d’ in- 
tersecazione debbono essere concentriche : 2.° che debbono ciascuna passare 
per iin dato punto. 
166. " Da quanto fu ora esposto, e dal considerare che la iperbola equi- 
latera generatrice, indicata nel teorema XXVIII, possiede una eccentricità, dop- 
pia di quella spettante alle coniche omofocali, considerate in esso, vediamo 
che il medesimo può enunciarsi diversamente col seguente 
Teorema XXXII. Il geometrico luogo dei fuochi di tutte le iperbole equi- 
latere concentriehe , le quali passano per un dato punto , consiste in una 
lemniscata. La direzione poi delV asse appartenente alla iperbola equilatera 
generatrice di questa lemniscata, è una retta, ehe passa pel comune centro, e 
pel dato punto ; mentre la eccentricità della iperbola medesima, eguaglia la 
doppia distanza di questi due punti. 
Si verifica facilmente (fig. 28), che 0 rappresenta il centro comune, ed a' 
il punto dato, pel quale debbono passare tutte le iperbole equilatere. Il geo- 
metrico luogo dei fuochi di tutte queste iperbole consiste in una lemniscata 
0 qh s r 0 r' s" g q'. La iperbola equilatera I h K 1' g K', generatrice di questa 
lemniscata, possiede per asse trasverso la retta gh, che passa pel dato punto 
a', e pel centro comune 0. Inoltre la sua eccentricità Of, risulta doppia della 
distanza Oa' fra il centro, ed il punto dato. 
167. ° Tutto quanto fu ora esposto, riguardo al geometrico luogo dei 
fuochi delle iperbole di tangenza, può ripetersi eziandio, riguardo al geome- 
trico luogo dei vertici delle iperbole stesse. Quindi osservando che (fig. 28), 
il semiasse Oa' della iperbola generatrice della lemniscata dei vertici, è anche 
la distanza fra il centro comune 0, ed il punto dato a'; potrà il teorema XXX, 
dar luogo all’altro seguente. 
Teorema XXXllI. Il geometrico luogo dei vertici di tutte le iperbole 
equilatere concentriche, le quali passano per un dato punto, consiste in una 
lemniscata. La direzione dell'asse appartenente alla iperbola equilatera, gene- 
ratrice di questa lemniscata, è una retta, che passa pel comune centro, e per 
quel dato punto; mentre la eccentricità della iperbola medesima , è alla di- 
stanza fra i due punti stessi, come |/"2 : I. 
