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Addilion des nomhres avec des différences connues , cornine dans les ca- 
scs du jcu d’o'cliecs. Il y a resscmblance en ce que dans la première case il y 
a un, piiis graduellement les nombres double's depuis la première case jusqu’a 
celle supposèc la dernière. Et voici ; tu ajoutes a l’unite' qui est dans la pre- 
mière case, I un, et ce sera ce qui est dans la seconde ; — puis tu multiplies 
cela par lui-méme^ or le montant, c’est ce qui est dans la seconde et la pre'ce'- 
dente, augmcntc' de un, et c’ est c 6 qui est dans le troisième case; — puis tu 
multiplies cela par le méme encore , or le montant , c’ est ce qui est dans la 
troisième et les pre'ce'dentes augmentè de un, et c’ est ce qui est dans la qua- 
trième case; — puis tu multiplies cela par le méme encore, or le montant, c’est 
ce qui est dans la quatrième et les précédentes, augmentè de un, et c’ est ce 
qui est dans la cinquième case ; — puis ne cesse pas de multiplier le resultai 
obtenu par le méme, ou de doubler les cases extraites, jusqu’a ce que tu abou- 
tisses à celle supposèe la dernière, et alors soustrais le un de la somme. Ce qui 
reste, c’est ce qui est deraandè. (i) S’ il y a changement de mise , alors multi- 
plie le reste par le premier (nombre) ; c’est ce qui est demandè, (2) 
Si les nombres ont entre eiix une autre difìèrence, (3) multiplie le plus pe- 
tit par la diffèrence du plus grand sur lui, divise par la diffèrence entre le plus 
petit et le nombre qui le suit , et ajoute le resultai au plus grand ; c’ est la 
rèponse. (4) 
Si Ics nombres dilFèrent d’une quantitè connue autre que des multiples (5), 
multiplie la diffèrence par la quantitè des nombres moins un, au rèsultat ajoute 
le premier nombre, le total c’est le dernier des nombres; additionne-le avec le 
premier, et multiplie par la moitiè de la quantitè des nombres; c’est la rèponse. (e) 
(1) Les cases de 1’ échiquier contiennent les nombres indiqués par les termes de la progression géomé- 
Irique suivante 
^ 1 : 2 : 2 ^: 2 ^: 2 ^: 2 ^: 2 ®: 
Pour cette progression particulière dans laquelle « = 1 et y = 2 la formule S = 
la — a a {q <'- — 1) . 
— ou — ; — devient 
q — a q — 1 
S = 2" — t ; c’est-à-dire que la somme de n pieraiers termes est égale à la puissance n de 2, dimiuuée de 
l'unité; or 2'‘ c’ est la valeur du terme qui vient immédiatement aprés la suite considérée; il est donc vrai 
de dire (jue la somme des nombres contenus dans les 7i premières cases, c’est le contenu de la (n-j-l)>è>Tie case 
diminué de un; 2? qu’une case de rang quelconque contient tout ce que contiennent ensemble les cases pré- 
cédentes plus Punite. 
(2) Cela veut dire que si la mise primitive dans la première case est autre que l’unité alors la formule 
devient S = a (2'‘ — i), auquel cas le reste (2'‘ — 1) est multiplie en effet par le premier terme, ou mise dif- 
fércnte de l’unité. 
(3) C’ est à-dire une diffèrence par quotient autre que 2. 
(4) En apjielant a le premier terme ou le plus petit nombre, l le plus grand, aq le terme qui suit a, 
on obtient d’ après Ibn Albannà pour la somme des termes d’une progression géométrique quelconque la for- 
Iq — a 
. ■ . , , . . 9— A 
(5) L auteur suppose qu’il s’agit maintenant non plus d uue progression géométrique, mais d’une pro- 
grcssion arithmétique quelconque. 
(6) Ce qui se traduit ainsi en langage algébrique, en appelant r la diffèrence ou raison, n la quantitè 
des nombres ou nombre des termos, a le jDremier terme ou premier nombre, l le dernier : 
mule S = ^ -j- l qui peut se réduire évidemnient à la forme 1- Z ou à celle plus usitée S = 
n n — n n — 1 
Z = r [n — 1) a 
et S = (« -f- Zj I . 
S 
