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Addition de la suite des nombres. — C’ est la moitié de celui qui la ter- 
mine par celui qui la termine et un. (i) 
Et la sommation des carre's : par la raultiplication des deux tiers de ce- 
lui qui la termine, augmentés du tiers de un, par la somme de la suite. ( 2 ) 
Et la sommation des cubes : par 1 elevalion au cane de la somme de la 
suite. ( 3 ) 
Additio.n de la suite des impairs : C’est que tu carres la moitie de celui qui 
la termine additionne' avec runite'. (4) 
Et la sommation des carres: par la multiplication du sixième de celui qui 
la termine par le rectangle des deux nombres consecutifs après lui. ( 5 ) 
(1) Sj = ” (ra -f- 1), en appelant n le nombre des termes de la progression arithmétiqtie, formée 
par la suite naturelle des nombres. 
_ 2n 4 - 1 „ 
(2) ^ X Si . 
Considérons la progression aritbmétique dont les termes forment la suite naturelle des nombres 
-;- 1 . 2 . 3 . 4 . 5.6 n. 
On sait que la valeur generale de Sm, c’est-à-dire de la somme des mìèmes puissances de tous les termes , 
se formule ainsi : 
„ , — 1 Tti „ ,, m{m — 1) „ 
Sm = -j — ^ Y(Sm_i — w"' 9 2~S (^'”-2 — 9 — . . . . 
et qu’en y faisant successivemcnt m = 0 , = 1 , = 2 , 
leurs Sq , S, , 83 , Sj etc. 
savoir : 
3 , = 4 , 
on trouve facilement les va- 
et 
c _ e n (n + 1) I, _ n -f 1) (2n -f- 1) 
Sg — « Sj — ^ g 
Or, on reconnait de prime abord que la formule d’ Ibn Albannà pour S^ est notre formule ci-contre, dans 
laquelle on a remplacé 
, il {n -{- 1) 
par 
S, • 
(3) 
( 4 ) 
S3 = Sj2 et en effet S3 = 
n* (n -|- 1)^ 
["-^] = <• 
/ ; -L- 1 \ 2 
Sj = 1 — I en appelant l le dernier terme de la suite des nombres impairs. 
(fl -f“ t)n , 
En effet , si dans la formule ordinaire S = de la somme des termes d’une progression arith- 
Z 4- 1 
métique, on fait a = 1 et « = 5 elle devient 
S = 
(1 +Z) Z + 1 
X 
(5) 
S3 = — (Z -j- 1) (Z -j- 2) 
Prenons la formule generale qui donne la somme des /n'èn>e^ puissances des termes d’une progression aritli- 
métique, dont le premier terme est designò par a , la raison par S et le dernier terme par Z : 
