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Et la sommation des carrés : par la multiplication des deux tiers de ce- 
lai qui la termine et des deux tiers de un, par la somme de la suite; ou bieu 
par la multiplication du sixième de celili qui la termine par le rectangle des 
deux nombres qui vieniient après lui. (i) 
Et la sommation des cubes : par la multiplication de la somme de la suite 
par son doublé. (2) 
En effet dans la progression arithmétique formée par la suite des nombres pairs , le l.e>’ terme = 2 et le 
nombre des termes considérés (n) est toujours égal à la moitié du dernier (Z) ; la formule generale 
devient donc dans ce cas 
O l +2 I 
S = X — 
2 2 
Behd Eddin , dans son Kholagat al hissdb, énonce ainsi la mème règie: (( Tour sommer les nombres 
pairs , à 1’ exclusion des impairs , tu multiplies la moitié du dernier nombre pair par le nombre entier qui 
est plus grand qu'elle de un. Exemple : depuis 2 jusqu’à 10 ; nous multiplions 5 par 6. » Sa formule est 
donc ^ "b ^ ^ revient à celle d’Ibn Albannà. 
(1) 
ou bien cncore 
s, = 
3 ‘ 
S, = 
Z (Z -f- 1) (Z -f- 2) 
Cette seconde formule n* est autre chose que la première dans laquelle on aurait substitué a Sj sa valeur 
^ — ; elle est tout-à-fait analogue à celle de la formation des carrés des nombres impairs , et repré- 
4 
sente comme elle le nombre de boulets contenus dans un pile triangulaire dont le coté de base contiendrait 
Z boulets. 
Si dans la formule générale déjà employée de S„ , nous supposons a = 2, d=2etm = 2, nous 
trouvons 
S,-Z2-f^-^-^-2 (S,-Z) - ^(So- 1 ). 
et en remplacant Sj et S„ par leurs valeurs respectives -^—^7-— et - > puis opérant les réductions. 
S, = 
A 2 
1- + 2P + 21 Z(Z^-f- 3Z-f- 2) Z(Z -{- 1) (Z + 2 ) 
6 6 6 
C’est-à-dire la seconde formule d’Ibn Albannà et par conséquent aussi la première. 
(2) S, = 2S,2. 
Les valeurs a — 2, S=2,m — portées dans la formule générale 
Sn 
donnent en effet 
im ^ 
Int’f’l Qin-hl 
(m + 1) d 2 ' 
m {m — 1) (m — 2) 
Z„-I) _ ^ ^ §2 (S«_, 
2 . 3.4 
Z'— 2 ‘ 
2 . 3 
S" (Sm—o — l">~^) — .... etc. 
im- 
3 (S2 — P) — A (S, — Z) — 2 (S„ 
1 ); 
et en substituant dans cette égalité pour S^ , S, , So leurs valeurs respectives, on a 
