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donde la condizione 
/ = A — 5 ; 
e perciò in questo quarto caso, tanto la bifilare, quanto le sue projezioni, si 
riducono ad un solo punto Q'", nel quale avvi contatto esterno fra i due ci- 
lindri sopra indicati. 
5.“ Se finalmente l’ascissa v del vertice sia rappresentata da (fìg. 3e), 
sarà V compreso fra i limiti § ed oo; quindi > — v compreso fra — 5, e — oo, 
laonde per la (6) dovremo avere la 
^2 _ . §2 
compresa fra — d , e — oo ; perciò in questo quinto caso non esiste più 
curva. 
Siccome gli ultimi due casi non corrispondono a curve bifilari, così gli 
escludiamo, e ci limiteremo ai soli tre primi. Avvertiamo inoltre che la esistenza 
dei precedenti cinque casi, può rilevarsi anche con un semplice ragionamento, 
sopra il rapporto fra le quantità 1 , 5 , A ; abbiamo però preferito 1’ analisi 
geometrica, per essere questa più rigorosa, e più feconda. 
Un teorema delle superficie di second’ordine stabilisce, che la projezione 
della curva d’ intersecazione fra due di queste superficie , sia generalmente 
una curva dell’ ordine quarto. Nel caso in proposito abbiamo due super- 
ficie dell’ordine secondo, cioè due cilindri, uno circolare, l’altro parabolico, e 
collocati fra loro in guisa, che l’asse del cilindro circolare, formi angolo retto 
col piano principale del cilindro secondo- Però nel caso medesimo avvi la 
particolarità, che due delle tre projezioni della bifilare, cioè la (3) e la (5) , 
sui piani coordinati xij, ed xz, sono linee dell’ordine secondo, e non del quarto. 
Diversamente avviene riguardo alla projezione della bifilare stessa sul piano delle 
yz’, poiché questa si ottiene con eliminare la x fra le (3), (4), ed abbiamo 
2 |/-[U — A2-^ 2A|/-(d2_ ,/)] , 
ovvero riducendo sarà 
(Z2 _ /2 ^2 _j_ §2y2 4 ^ 2(52 _ ^ 
equazione che rappresenta una linea dell’ordine quarto. 
Sappiamo dal ragionamento esposto, che la curva bifilare viene anche 
prodotta dalla intersecazione di due cilindri, uno circolare di raggio 5, l’altro 
parabolico del parametro 2A, collocati per modo, che l’asse del primo sia per- 
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