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cioè la tangente geometrica r nei punti cui corrisponde l’ordina z massima o 
minima, dovrà essere parallela sempre all’asse delle ascisse 
Sapendosi ora che i valori particolari 
^ ’ ^2 = -= p- (A , 
annullano ciascuno il valore di tang(T,^) dato dalla (23); e riflettendo inoltre 
che, se pongasi eguale a zero il secondo membro della stessa (23), abbiamo 
un’equazione in z del quarto grado; perciò fa d’uopo concludere, non esservi 
altri valori di z, fuorché i quattro sopra espressi, per annullare quel secondo 
membro. Dunque soltanto a quei punti relativi a questi quattro valori di z, 
due massimi, e due minimi, appartengono tangenti parallele all’asse delle 
Volendo riconoscere graficamente questi quattro valori di z, per ciascuno 
dei quali la tangente geometrica è all’asse delle ascisse parallela , si rappre- 
sentino (fig. 8) le due curve bifilari mnpq, ed m'n'p'q' a doppia curvatura, ge- 
nerate dalle intersecazioni della superficie sferica colla cilindrica, e le altre due 
«, /3, 7, ed /3'. v', a quelle rispettivamente corrispondenti, ma ridotte in 
un piano. Le curve medesime bifilari, a doppia curvatura una, piana l’altra, 
sono simmetriche rispetto 1’ asse delle ascisse o? , che perciò dista egual- 
mente dai punti omologhi delle due curve stesse, una superiore, l’altra infe- 
riore al medesimo asse. Quindi, poiché le z positive procedono dall’alto al basso, 
e le negative in opposto; è facile vedere che nella curva a doppia curvatura, 
i massimi valori di z corrispondono alle gm, g’p\ ed i minimi alle g'p, gm'; 
mentre nella corrispondente curva piana , i massimi valori di z coincidono 
colle doc, e/3', ed i minimi colle e/3, dx'. Inoltre nella curva bifilare ridotta 
piana, le tangenti geometriche nei quattro punti «, /3, a', /3', sono parallele 
all’asse delle ascisse |, come già fu dimostrato analiticamente colla (26). 
In ciascun ramo della bifilare piana, riflettendo all’indicato parallelismo delle 
tangenti, osservando che ad ogni ascissa corrisponde una sola ordinata, e sa- 
pendosi che il valore di tang(z,|) non può mai divenire infinito, cioè che la 
curva non perde mai la continuità per un valore di Z >> A -t- d, dobbiamo con- 
cludere che nel tratto della curva stessa, compreso fra | = o, e | ossia fra i 
due valori di z, uno massimo, l’altro minimo, avrà luogo un terzo valore di 
questa ordinata , pel quale si verificherà nella curva un punto d’ inflessione. 
E siccome abbiamo veduto dalla (23), che pel caso di Z = A - 4 - d, il valore 
di tang(r,^) non si annulla, così non sussiste per questo caso il ragionamento 
precedente; ma da ciò non possiamo concludere che in tal caso non abbiavi 
punto d’ inflessione. Essendo infatti per la (24) 
